Question

一質量M=0.8kg的中空的、粗細均勻的、足夠長的絕緣細管，其內表面粗糙、外表面光滑；有一質量為m=0.2kg、電荷量為q=0.1C的帶正電滑塊以水平向右的速度進入管內，如圖甲所示．細管置于光滑的水平地面上，細管的空間能讓滑塊順利地滑進去，示意圖如圖乙所示．運動過程中滑塊的電荷量保持不變．空間中存在垂直紙面向里的水平勻強磁場，磁感應強度為B=1.0T．（取水平向右為正方向，g=10m/s²）

（1）滑塊以v₀=10m/s的初速度進入細管內，則系統最終產生的內能為多少？
（2）滑塊最終的穩定速度 v_t取決于滑塊進入細管時的初速度v₀
①請討論當v₀的取值范圍在0至60m/s的情況下，滑塊和細管分別作什么運動，并求出v_t和v₀的函數關系？
②以滑塊的初速度v₀橫坐標、滑塊最終穩定時的速度v_t為縱坐標，在丙圖中畫出滑塊的v_t-v₀圖象（只需作出v₀的取值范圍在0至60m/s的圖象）．

Answer 1

分析：（1）小滑塊與細管組成的系統水平方向外力為零，因此水平方向系統動量守恒，然后根據功能關系即可求解．
（2）本問的關鍵是正確分析重力和洛倫茲力的關系，以重力等于洛倫茲力為臨界點進行分析，當重力大于洛倫茲力時，細管下壁與滑塊之間有支持力，當重力小于洛倫茲力時，細管上壁與滑塊之間有支持力．明確了這些便找到了解決問題的突破點．

解答：解：（1）小球剛進入管內時受到洛侖茲力為：F_洛=qv₀B=1N     ①
依題意小球受洛侖茲力方向向上，F_洛＜mg=2N，小球與管的下壁有彈力，摩擦使球減速至最終與細管速度相同時，兩者以共同速度v運動          
由動量守恒定律：mv₀=（m+M）v            ②
對系統：由能量守恒定律：

1

2

m

v

2 0

=Q+

1

2

(m+M)

v

2

    ③
由②③得：Q=8 J 
故系統最終產生的內能為8J．
（2）①分析：當滑塊對管的上下壁均無壓力時，滑塊進入細管的速度滿足：mg=qv'₀B    ④
得：v'₀=20m/s
下面分a、b兩種情況進行討論分析：
a、當滑塊初速小于v₀=20m/s時，F_洛＜mg，滑塊與管的下壁有彈力，并有摩擦力，使滑塊作勻減速直線運動，細管作勻加速直線運動，最終兩者共速
對系統：依動量守恒定律：mv₀=（m+M）v_t ⑤
代入數據得：v_t=0.2v₀ ⑥（0＜v₀＜20m/s）
b、當滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時，滑塊與管的上壁有彈力，摩擦使滑塊減速最終速度為 v_t=20m/s，而細管作勻加速直線運動，加速到V′⑧
當滑塊以初速度為v₀進入，若恰好V′=v_t=20m/s，則對系統依動量守恒定律有：mv₀=（m+M）V′
可得：v₀=100m/s＞60m/s，
當滑塊以v₀=60m/s進入時，f_洛=qv₀B=6N＜（m+m）g=10N
∴細管工不會離開地面．
可見：當滑塊以初速度20m/s≤v₀≤60m/s進入細管時，細管最終不能加速到20m/s
故當滑塊初速小于v₀=20m/s時，滑塊作勻減速直線運動，細管作勻加速直線運動，最終兩者以相同的速度一起勻速運動；
當滑塊初速20m/s≤v₀≤60m/s時，滑塊作勻減速直線運動，當速度達到20m/s時，開始運動運動，細管開始做勻加速運動，后做勻速運動，且速度小于20m/s．
②根據以上分析得出滑塊的v_t-v₀圖象如下所示：

點評：本題過程、受力情況比較復雜，考查知識點全面，有一定難度，解答這類題目的關鍵是正確進行受力分析，弄清運動形式，然后依據規律求解．