Question

如圖甲所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xoy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓形區域內加有與xoy平面垂直的勻強磁場．在坐標原點O處放置一帶電微粒發射裝置，它可以連續不斷地發射具有相同質量m、電荷量q（q＞0）和初速為v₀的帶電粒子．已知重力加速度大小為g．

（1）當帶電微粒發射裝置連續不斷地沿y軸正方向發射這種帶電微粒時，這些帶電微粒將沿圓形磁場區域的水平直徑方向離開磁場，并繼續沿x軸正方向運動．求電場強度和磁感應強度的大小和方向．
（2）調節坐標原點．處的帶電微粒發射裝置，使其在xoy平面內不斷地以相同速率v₀沿不同方向將這種帶電微粒射入第1象限，如圖乙所示．現要求這些帶電微粒最終都能平行于x軸正方向運動，則在保證勻強電場、勻強磁場的強度及方向不變的條件下，應如何改變勻強磁場的分布區域？并求出符合條件的磁場區域的最小面積．

Answer 1

（1）由題目中“帶電粒子從坐標原點O處沿y軸正方向進入磁場后，最終沿圓形磁場區域的水平直徑離開磁場并繼續沿x軸正方向運動”可知，帶電微粒所受重力與電場力平衡．設電場強度大小為E，由平衡條件得：
mg=qE
∴E=

mg

q

電場方向沿y軸正方向
帶電微粒進入磁場后，做勻速圓周運動，且圓運動半徑r=R．
設勻強磁場的磁感應強度大小為B．由牛頓第二定律得：
qv₀B=m

v02

R

∴B=

mv0

qR

磁場方向垂直于紙面向外
（2）設由帶電微粒發射裝置射入第Ⅰ象限的帶電微粒的初速度方向與x軸承夾角θ，
則θ滿足0≤θ＜

π

2

，由于帶電微粒最終將沿x軸正方向運動，
故B應垂直于xoy平面向外，帶電微粒在磁場內做半徑為

mv0

qB

勻速圓周運動．
由于帶電微粒的入射方向不同，若磁場充滿紙面，
它們所對應的運動的軌跡如圖所示

為使這些帶電微粒經磁場偏轉后沿x軸正方向運動．
由圖可知，它們必須從經O點作圓運動的各圓的最高點飛離磁場．這樣磁場邊界上P點的坐標P（x，y）應滿足方程：
x=Rsinθ，
y=R（1-cosθ），
所以磁場邊界的方程為：
x²+（y-R）²+R²
由題中0≤θ＜

π

2

的條件可知
以θ→

π

2

的角度射入磁場區域的微粒的運動軌跡
（x-R）²+y²=R²
即為所求磁場的另一側的邊界．
因此，符合題目要求的最小磁場的范圍應是圓
x²+（y-R）²=R²與圓（x-R）²+y²=R²的
交集部分（圖中陰影部分）．
由幾何關系，可以求得符合條件的磁場的最小面積為：
S_min=（

π

2

-1）

m2v02

q2B2

=（

π

2

-1）R²．
答：（1）電場強度的大小為

mg

q

方向沿y軸正方向；磁感應強度的大小為

mv0

qR

，方向垂直紙面向外．
（2）勻強磁場的分布區域如圖所示，求出符合條件的磁場區域的最小面積為（

π

2

-1）R²．．