Question

（2010?上海模擬）如圖所示為放置在豎直平面內游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現有一質量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點開始沿AB向上運動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數均為μ=

1

3

，設小球經過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）要使小球完成一周運動回到B點，初動能E_K0至少多大？
（2）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點向上運動，求小球第二次到達D點時的動能；
（3）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點向上運動，求小球在CD段上運動的總路程．

Answer 1

分析：（1）要使小球能夠向上運動并回到B點，有兩個臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，二是通過了圓弧APD的最高點后還能夠再次到達B點．根據能量守恒分別求出小球恰好通過圓弧APD的最高點以及恰好到達B點時的初動能，比較兩種情況下的初動能，從而得出初動能E_K0的最小值．
（2）根據動能定理求出小球從B點出發又回到B點時的動能，根據動能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點，由于重力的分力大于滑動摩擦力，小球會下滑，求出小球在AB桿上摩擦產生的熱量．根據能量守恒求出第二次經過D點的動能．
（3）通過第二問解答知小球能夠第二次到達D點，根據能量守恒定律討論小球能否第二次通過D點返回后上升到B點，從而確定小球的運動情況，最后根據動能定理求出小球在CD段上運動的總路程．

解答：解：（1）若要使小球能夠通過圓弧APD的最高點，因為小球是穿在桿上，所以到達最高點時速度可以為0．
   由能量守恒得：E_k0=mg[Lsinθ+（R-Rcosθ）]+μmgLcosθ
代入數據解得：E_k0=30J．
 假若僅使小球恰好到達B點，即到達B點時速度恰好為0，則由能量守恒：E_k0=μmgLcosθ+μmgL
代入數據解得：E_k0=18J．
故要使小球能再次回到B點，至少需要30J的初動能．
（2）當小球在B點以E_k0=30J向上運動，再次回到B點時，小球的動能E_k1，由動能定理：E_k1-E_k0=-μmgLcosθ-μmgL，所以：E_k1=E_k0-μmgLcosθ-μmgL=30-18=12J
假設小球經過B點后，還能沿AB上升x，由動能定理：0-E_k1=-mgxsinθ+（-μmgcosθx）
解得：x=

Ek1

mgsinθ+μmgcosθ

=

12

1×10×0.6+ 1 3 ×1×10×0.8

=

18

13

m
在AB桿上，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以小球將再次下滑，在AB桿上因摩擦而發的熱：Q1=2μmgcosθ?x=2×

1

3

×1×10×0.8×

18

13

=

96

13

J
當小球第二次回到D點時，由能量守恒得：mg（r+rcosθ）+E_k1=Q₁+μmgL+E_kD
所以：EkD=mg(r+rcosθ)+Ek1-Q1-μmgL=

164

13

J≈12.6J
故小球第二次到達D點時的動能為12.6J．
（3）小球到達D點后，將沿光滑的圓弧面APB上升，但到不了最高點，將再次滑回D點，且EkD=

164

13

J．
假若要使小球還能夠返回B點，則要求在D點時具有的動能為：μmgL+mg（r+rcosθ）=28J＞E_kD；    
所以小球將無法再次回B點，而只能在光滑圓弧APD和BQC及DC間作來回往復的運動，最終小球將停在DC上，此時小滑在DC上滑過的總路程為S'，
由E_kD=μmgS'得：S′=

EkD

μmg

=

164 13

1 3 ×1×10

=

246

65

m
所以S總=2L+S′=6+

246

65

=

636

65

m=9.78m
故小球在CD段上運動的總路程為9.78m．

點評：本題過程較復雜，關鍵是理清過程，搞清運動規律，合適地選擇研究的過程，運用動能定理和能量守恒定律進行解題．