Question

（2010?上海模擬）兩根長直軌道與一半徑為R的半圓型圓弧軌道相接于A、C兩點，B點為軌道最低點，O為圓心，軌道各處光滑且固定在豎直平面內．質量均為m的兩小環P、Q用長為

2

R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將MN兩環從距離地面2R處由靜止釋放，整個過程中輕桿和軌道始終不接觸，重力加速度為g，求：
（1）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P；
（2）當P環運動到B點時的速度v；
（3）在運動過程中，P環能達到的最大速度v_m；
（4）若將桿換成長2

2

R，P環仍從原處由靜止釋放，經過半圓型底部再次上升后，P環能達到的最大高度H．

Answer 1

分析：（1）輕桿下滑過程，系統的機械能守恒，確定出兩環下降的高度，即可由求得△E_P；
（2）P、Q都進入圓軌道后，兩環具有相同角速度，兩環速度大小一定相等，根據系統的機械能守恒列式求解最大速度．
（3）當系統質心下降到最低處時，系統達到的速度最大，此時MN離O點豎直高度為

2

2

R，再由機械能守恒求解．
（4）由于桿長超過了半圓直徑，故A環一直在下方，速度為零時，結合幾何關系并根據機械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．

解答：解：（1）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能 △Ep=WGM+WGN=mg2R+mg(1+

2

)R=(3+

2

)mgR
（2）P、Q都進入圓軌道后，兩環具有相同角速度，則兩環速度大小一定相等
整體的機械能守恒，則有：△E_P=△E_K
則得  (3+

2

)mgR=

1

2

2mv2
得到 v=

(3+ 2 )gR

（3）當系統質心下降到最低處時，系統達到的速度最大，此時MN離O點豎直高度為

2

2

R
則有（1+

2

2

）mgR+（

2

+1+

2

2

）mgR=

1

2

?2m

v

2 m

 
得到 v=

(2+2 2 )gR

（4）由于桿超過了半圓直徑，所以兩環運動如圖．

M再次上升后，設位置比原來高h，如圖所示．
由機械能守恒：-mgh+mg（2

2

R-2R-h）=0 
解得h=(

2

-1)R，
P環能達到的最大高度H=(

2

+1)R
答：
（1）當P環運動到B點時，系統減少的重力勢能△E_P是（3+

2

）mgR．
（2）當P環運動到B點時的速度v是

(3+ 2 )gR

．
（3）在運動過程中，P環能達到的最大速度v_m是

(2+2 2 )gR

．
（4）若將桿換成長2

2

R，P環仍從原處由靜止釋放，經過半圓型底部再次上升后，P環能達到的最大高度H是（

2

+1）R．

點評：本題關鍵是根據幾何關系多次得到環的具體位置，然后根據機械能守恒定律列方程求解即可．