Question

【題目】一根直徑的樹干平放在水平的地面上．一只懶惰的蚱蜢（視為質點）想跳過樹干，求蚱蜢滿足條件的最小離地速度（空氣阻力忽略不計）．

Answer 1

【答案】

【解析】

當蚱蜢以最小的速度起跳時，其運動軌跡（拋物線）應以過木棍圓心的豎直線為對稱軸（軸），且運動軌跡應與木棍相切，但目前還不清楚切點是否是木棍的最高點．如圖所示．

蚱蜢從點以速度起跳，起跳的方向與水平方向成角，在切點處，蚱蜢的速度為，與水平方向成角，顯然，與是相關聯的，為了討論方便，選擇為獨立變量．

將速度與作圖示的分解．

蚱蜢從到有

． ①

在點，有． ②

蚱蜢從到有， ③

． ④

上述式中為木棍的半徑，為蚱蜢從從到的時間．

聯立上述各式解得，，

所以，．

上式中，當時取“＝”號，即當時，有最小值．

此時蚱蜢的起跳角滿足：．

而，．所以，．