Question

（16分）某裝置用磁場控制帶電粒子的運動，工作原理如圖所示。裝置的長為 L，上下兩個相同的矩形區域內存在勻強磁場，磁感應強度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d。裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的三點，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下方磁場的上、下邊界上。在紙面內，質量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點射入，方向與軸線成30°角，經過上方的磁場區域一次，恰好到達P點。改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達收集板上的位置。不計粒子的重力。

（1）求磁場區域的寬度h；
（2）欲使粒子到達收集板的位置從P點移到N點，求粒子入射速度的最小變化量Δv；
（3）欲使粒子到達M點，求粒子入射速度大小的可能值。

Answer 1

（1）h＝（－）（1－）；（2）Δv＝（－）；（3）v_n＝（－）（2≤n＜，n取整數）

試題分析：（1）設帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑為r，依題意作出帶電粒子的運動軌跡如下圖所示。

由圖中幾何關系有：L＝3rsin30°＋，h＝r（1－cos30°）
解得：h＝（－）（1－）
（2）設帶電粒子初始入射速度為v₁，改變速度后仍然經過上方的磁場區域一次后到達N點，此時速度的改變量最小，設為v₂，粒子改變速度后，在磁場中運動的軌道半徑為r′，帶電粒子的運動軌跡如下圖所示。

由圖中幾何關系有：L＝4r′sin30°＋
根據牛頓第二定律和洛倫茲力大小公式有：qv₁B＝，qv₂B＝
粒子入射速度的最小變化量Δv＝|v₂－v₁|
聯立以上各式解得：Δv＝（－）
（3）粒子可能從上方磁場出來后經過M點，也可能從下方磁場出來后經過M點，不妨假設粒子共n次經過了磁場區域到達了M點，此時在磁場中運動的軌道半徑為r_n，速度為v_n，根據牛頓第二定律和洛倫茲力大小公式有：qv_nB＝
根據幾何關系有：L＝2nr_nsin30°＋
解得：v_n＝（－）
由于粒子經過上方的磁場區域一次，恰好到達P點，因此粒子不可能只經過上方一次射出后直接到達M點，因此有：n≥2
又因為，粒子必須能夠經過磁場改變其運動速度的方向才能到達M點，因此滿足n＜＝
所以：v_n＝（－）（其中2≤n＜，且n為整數）