Question

【題目】如圖所示，遙遠的太空中有一孤立星體，半徑為，質量為，分布均勻．有一空間站在距球心的圓軌道上做無動力飛行．現考慮從空間站向星體發射飛船，需要討論飛船的著陸問題

（1）人們提出了兩種著陸方案，方案一：飛船相對空間站發射時速度指向球心，大小為．方案二：飛船發射時相對空間站速度指向空間站運動的反方向，大小為，請分別求出與的大小

（2）當空間站運動到圖示位置時發射飛船，為使飛船能精確著陸在圖中的點，試求飛船發射時的相對空間站的速度．（以上問題均不考慮空間站的反沖作用，且飛船總是沿切線方向著陸，飛船總是采取節省燃料的發射方式）

Answer 1

【答案】（1）所以，，（2）相對速度的方向指向球心，大小為

【解析】

（1）設空間站質量為，飛行速度為．

由牛頓第二定律得，所以，．

對于方案一，由角動量守恒得飛船著陸前瞬間的速度．

由機械能守恒得，

所以，．

對于方案二，由得，

所以，．

（2）如圖所示，以為極軸建立極坐標．

設飛船的軌跡方程為．

當時，有．

當時，有．

所以，，所以，

所以，，

所以，時，，

所以， ， ①

．

設飛船發射時絕對速度為，相對速度為，著陸時速度為．

由角動量守恒有． ②

由機械能守恒有． ③

聯立①②③得，

由此得，，

所以，相對速度的方向指向球心，大小為，與（1）中的方案一相同．