Question

【題目】如圖所示，半徑為R的豎直圓軌道與半徑為2R的豎直圓弧軌道BC相切于最低點C，傾角θ=37°的傾斜軌道AB與圓弧軌道BC相切于B點，將一勁度系數為k的輕質彈簧的一端固定在AB軌道上，平行于斜面的細線穿過有孔固定板和彈簧并跨過定滑輪將小球a和小球b連接，小球a與彈簧接觸但不相連，小球a的質量為m，小球b的質量為，初始時兩小球靜止，小球a與B點的距離為L，已知彈簧被壓縮時的彈性勢能表達式為（x為彈簧壓縮量），現將細線突然燒斷，一切摩擦均不計，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度為g。

（1）求細線斷開的瞬間，小球a和小球b的加速度大小之比。

（2）如果小球a恰好能在圓軌道內完成豎直平面內的圓周運動，則L和R應滿足什么關系？

（3）在滿足第（2）問的條件下，小球a通過C點時對軌道的壓力的變化量是多少？

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）細線為斷開時，由受力平衡有

解得

細線斷開的瞬間，對小球a： ，

解得：

對小球b：

解得， 所以

（2）細線斷開后小球a恰好能夠運動到圓軌道的最高點P，由機械能守恒定律有

在最高點： ,

解得L=

（3）設小球a運動到C點時速度為，

由機械能守恒定律有

解得

在C點的右側時，圓弧軌道的半徑為2R，

由牛頓第二定律：

解得

在C點的左側時，圓弧軌道的半徑為R，

由牛頓第二定律：

解得

故小球a通過C點時對軌道的壓力的變化量為 。