Question

【題目】如圖，一豎直圓管質量為M，下端距水平地面的高度為H，頂端塞有一質量為m的小球。圓管由靜止自由下落，與地面發生多次彈性碰撞，且每次碰撞時間均極短；在運動過程中，管始終保持豎直。已知M =4m，球和管之間的滑動摩擦力大小為4mg, g為重力加速度的大小，不計空氣阻力。

（1）求管第一次與地面碰撞后的瞬間，管和球各自的加速度大小；

（2）管第一次落地彈起后，在上升過程中球沒有從管中滑出，求管上升的最大高度；

（3）管第二次落地彈起的上升過程中，球仍沒有從管中滑出，求圓管長度應滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）a1=2g，a2=3g；（2）；（3）

【解析】

（1）管第一次落地彈起的瞬間，小球仍然向下運動。設此時管的加速度大小為a1，方向向下；球的加速度大小為a2，方向向上；球與管之間的摩擦力大小為f，由牛頓運動定律有

Ma1=Mg+f ①

ma2= f– mg ②

聯立①②式并代入題給數據，得

a1=2g，a2=3g③

（2）管第一次碰地前與球的速度大小相同。由運動學公式，碰地前瞬間它們的速度大小均為

④

方向均向下。管彈起的瞬間，管的速度反向，球的速度方向依然向下。

設自彈起時經過時間t1，管與小球的速度剛好相同。取向上為正方向，由運動學公式

v0–a1t1= –v0+a2t1⑤

聯立③④⑤式得

⑥

設此時管下端的高度為h1，速度為v。由運動學公式可得

⑦

⑧

由③④⑥⑧式可判斷此時v>0。此后，管與小球將以加速度g減速上升h2，到達最高點。由運動學公式有

⑨

設管第一次落地彈起后上升的最大高度為H1，則

H1= h1+ h2⑩

聯立③④⑥⑦⑧⑨⑩式可得

（3）設第一次彈起過程中球相對管的位移為x1。在管開始下落到上升H1這一過程中，由動能定理有

Mg（H–H1）+mg（H–H1+x1）–4mgx1=0

聯立式并代入題給數據得

同理可推得，管與球從再次下落到第二次彈起至最高點的過程中，球與管的相對位移x2為

設圓管長度為L。管第二次落地彈起后的上升過程中，球不會滑出管外的條件是

x1+ x2≤L

聯立式，L應滿足條件為