Question

【題目】如下圖所示,質量分別為和的兩個星球和在引力作用下都繞點做勻速圓周運動,星球和兩者中心之間的距離為.已知、的中心和三點始終共線, 和分別在的兩側.引力常數為.

（1）求兩星球做圓周運動的周期;

（2）在地月系統中,若忽略其他星球的影響.可以將月球和地球看成上述星球和,月球繞其軌道中心運行的周期記為.但在近似處理問題時,常常認為月球是繞地心做圓周運動的,這樣算得的運行周期記為.已知地球和月球的質量分別為和.求與兩者平方之比.(結果保留3位小數)

Answer 1

【答案】（1）（2）1.012

【解析】

解：（1）兩星球圍繞同一點O做勻速圓周運動,其角速度大小相同, 周期也相同,其所需向心力由兩者間的萬有引力提供,設A、B的軌道半徑分別為r2、r1,由牛頓第二定律知:

對于B有

對于A有

又r1+r2=L

聯立解得

（2）在地月系統中,由于地月系統旋轉所圍繞的中心不在地心,月球做圓周運動的周期可得出：

式中, 和分別是地球和月球的質量, 是地心與月心之間的距離.

若認為月球在地球的引力作用下繞地心做勻速圓周運動,則

式中, 為月球繞地心運動的周期.

得

則,

代入題給數據得.