Question

【題目】如圖所示，豎直平面內固定一光滑軌道ABCD，分別由弧面AB段、水平面BC段和半圓弧面CD段組成，三段軌道分別在B點和C點平滑連接，已知半圓弧面半徑為R，直徑DOC垂直BC。大小相同的小球從左到右依次編號為1、2、3……、N，間隔一定距離靜止在水平軌道上，已知每個小球的質量為其相鄰左邊小球質量的k倍（k<1）。將質量為m的1號小球置于弧面AB段高出水平面BC為的位置，由靜止釋放，在水平軌道上與2號小球碰撞，2號小球再與3號小球碰撞……。所有碰撞均為對心正碰且無機械能損失，重力加速度為g。求：

(1)1號小球與2號小球碰撞之后，2號小球的速度大小；

(2)當N=3時第3個小球滑上圓軌道后對C點的壓力；

(3)為保證N=5時第5個小球在第一次被碰撞后不會脫離半圓軌道，求k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）v2=；（2）k2mg［+1］；方向豎直向下；（3）k1；或者k-1

【解析】

（1）根據動量守恒定律和機械能守恒求解1號小球與2號小球碰撞之后，2號小球的速度大小；（2）根據動量守恒定律和機械能守恒求解3號小球被碰后的速度，應用牛頓第二定律可得第3個小球滑上圓軌道后對C點的壓力；（3）根據小球不脫離軌道的條件以及能經過最高點的條件求解.

（1）設1號碰前的速度為v1，對于1號小球由釋放點運動到最低點過程，根據機械能守恒有

設1號、2號小球碰撞后的速度分別為v1′和v2，取水平向右為正方向。

設2號小球的質量為m2，對于1、2號小球碰撞的過程，根據動量守恒定律有

根據機械能守恒有

解得：

（2）設2號、3號小球碰撞后的速度分別為v2′和v3，對于2、3號小球碰撞的過程，根據動量守恒定律有

根據機械能守恒有

同理可解得：3號小球被碰后的速度

在C點，對3號小球應用牛頓第二定律可得

根據牛頓第三定律3號小球對軌道的壓力

方向豎直向下

（3）由（2）中的結果可推知5號小球被碰后的速度

5號小球第一次被碰撞后不會脫離半圓軌道需滿足：

情況Ⅰ：

情況Ⅱ：

且在最高點滿足：

解得

或者