Question

如圖，質量為M的足夠長金屬導軌abcd放在光滑的絕緣水平面上．一電阻不計，質量為m的導體棒PQ放置在導軌上，始終與導軌接觸良好，PQbc構成矩形．棒與導軌間動摩擦因數為μ，棒左側有兩個固定于水平面的立柱．導軌bc段長為L，開始時PQ左側導軌的總電阻為R，右側導軌單位長度的電阻為R₀．以ef為界，其左側勻強磁場方向豎直向上，右側勻強磁場水平向左，磁感應強度大小均為B．在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用于導軌的bc邊上，使導軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a．
（1）求回路中感應電動勢及感應電流隨時間變化的表達式；
（2）經過多少時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為多少？
（3）某一過程中回路產生的焦耳熱為Q，導軌克服摩擦力做功為W，求導軌動能的增加量．

Answer 1

分析：電磁感應定律求電動勢，勻變速運動求速度，由閉合電路歐姆定律求出感應電流隨時間變化的表達式，對導軌受力分析，牛頓第二定律求F得最大值，由動能定理求導軌動能的增加量．

解答：解：（1）對桿發電：E=BLv，
導軌做初速為零的勻加速運動，v=at，
E=BLat，
s=

1

2

at²
對回路：閉合電路歐姆定律：

I=

BLV

R總

=

BLat

R+2R0( 1 2 at2)

=

BLat

R+R0at2

（2）導軌受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
對桿受安培力：F_A=BIL=

B2L2at

R+R0at2

F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+

B2L2at

R+R0at2

）
由牛頓定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）

B2L2at

R+R0at2

上式中當：

R

t

=R₀at
即t=

R aR0

時，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+

1

2

（1+μ）B²L²

a RR0

，
（3）設此過程中導軌運動距離為s，
由動能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=

W-μQ

μmg

，
△E_k=Mas=

W-μQ

μmg

Ma
答：（1）回路中感應電動勢及感應電流隨時間變化的表達式E=BLat，I=

BLat

R+R0at2

；
（2）經過

a RR0

時間拉力F達到最大值，拉力F的最大值為Ma+μmg+

1

2

（1+μ）B²L²

a RR0

，
（3）導軌動能的增加量為

W-μQ

μmg

Ma．

點評：考查了電磁感應定律產生電動勢、電流隨時間變化的規律，討論其最大值，能量守恒定律的應用．