Question

（2011?安徽二模）如圖（a）所示，兩個平行的金屬板間接有圖（b）所示的交變電壓，板長為L=0.4m，板間距d=0.2m．在金屬板的右側即磁場的理想左邊界，磁場區域足夠大．磁感應強度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里，現有一帶電粒子（不計重力）以v₀=10⁵m/s速度沿著極板中線從左端射人極板間．已知粒子的荷質比為q/m=10⁸ C/kg，粒子通過電場區域的極短時間內，可以認為電場是恒定的．
（1）若粒子在t=0時刻射入，求粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離；
（2）證明任意時刻射人電場的粒子，在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等；
（3）求粒子射出電場時的最大速度．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在t=0時刻進入，電場強度為零，粒子將以v₀的速度垂直磁場左邊界射入磁場中．由牛頓定律和幾何關系求解．
（2）粒子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，由牛頓定律和幾何關系證明射人點與出射點間的距離恒定．
（3）當粒子從極板邊緣離開電場時，側移量最大，電場力做功最多，粒子的速度最大．根據側移量，由牛頓定律和運動學公式求出此時電壓，由動能定理求出最大速度．

解答：解：（1）帶電粒子在t=0時刻進入，由題可知，粒子通過電場區域時間極短，因此粒子從進入電場到離開電場，板間電場強度始終為零，則粒子將以v₀的速度垂直磁場左邊界射入磁場中．
    由牛頓第二定律，得
      qv₀B=m

v 2 0

r

     得r=

mv0

qB

=0.2m
故粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離S=2r=0.4m．
（2）設某時刻進入磁場的粒子速度為v，方向與水平方向成θ角，如右圖
     則v=

v0

cosθ

   粒子在磁場中運動時的軌跡半徑為
      r′=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

   粒子射人點到出射點間的距離S′=2r′cosθ=2

mv0

qB

      由（1）知S′=2r=0.4m
   故任意時刻射人電場的粒子，在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等．
（3）設粒子進入電場時刻，板間的電壓為U，且粒子可以射出電場進入磁場．則
         y=

qU

2md

t2，t=

L

v0

   當側移量y=

d

2

時，電場力對粒子做功最多，
       得到U=

md2 v 2 0

qL2

       代入解得U=25V
  由動能定理得
    q

U

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

   解得  v_m=

5

2

×105m/s
答：（1）粒子在t=0時刻射入，在磁場中運動的射人點到出射點間的距離為0.4m；
    （2）略
    （3）粒子射出電場時的最大速度為

5

2

×105m/s．

點評：本題考查帶電在電磁場中的運動，綜合考查了牛頓定律、動能定理、受力分析等方面的知識和規律．對考生的分析綜合能力、應用數學知識的能力要求較高．