Question

（2011?安徽二模）如圖所示，水平軌道AB與半徑為R的豎直半圓形軌道BC相切于B點．質量為2m和m的a、b兩個小滑塊（可視為質點）原來靜止于水平軌道上，其中小滑塊以與一輕彈簧相連．某一瞬間給小滑塊以一沖量使其獲得v₀=3

gR

的初速度向右沖向小滑塊b，與b碰撞后彈簧不與b相粘連，且小滑塊b在到達B點之前已經和彈簧分離，不計一切摩擦，求：
（1）a和b在碰撞過程中彈簧獲得的最大彈性勢能；
（2）小滑塊b經過圓形軌道的B點時對軌道的壓力；
（3）小滑塊b最終落到軌道上何處．

Answer 1

分析：（1）碰撞過程動量守恒，當兩球的速度相等時，系統損失動能最大，此時對應的彈性勢能最大．
（2）當彈簧恢復原長時，b球速度最大，此時b球向右運動滑上軌道，根據動量守恒、機械能守恒以及向心力公式可求得正確結果．
（3）根據完成圓周運動的臨界條件，判斷b球是否能通過最高點，若能則通過后做平拋運動，根據平拋運動規律可求得結果．

解答：解：（1）a與b碰撞達到共同速度時彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大．設此時ab的速度為v，則由系統的動量守恒可得：
2mv₀=3mv                   ①
由機械能守恒定律得：

1

2

?mg

v

2 0

=

1

2

? 3mv2+Epm       ②
聯立①②解得：E_pm=3mgR．   
故a和b在碰撞過程中彈簧獲得的最大彈性勢能為：E_pm=3mgR．   
（2）當彈簧恢復原長時彈性勢能為零，b開始離開彈簧，此時b的速度達到最大值，并以此速度在水平軌道上向前勻速運動．設此時a、b的速度分別為v₁、v₂，由動量守恒定律和機械能守恒定律可得：
2mv₀=2mv₁+mv₂

1

2

?2m 

v

2 0

 =

1

2

?2m

v

2 1

+

1

2

m

v

2 2

解得：v2=4

gR

滑塊b到達B時，根據牛頓第二定律有：
FN-mg=m

v 2 2

R

解得：F_N=17mg
故根據牛頓第三定律滑塊b在B點對軌道的壓力為

F

/ N

=17mg，方向豎直向下．
（3）設b恰能到達最高點C點，且在C點的速度為v_C，此時軌道對壞塊的彈力為零，滑塊只受重力，由牛頓第二定律：
mg=m

v 2 C

R

解得vC =

gR

再假設b能夠到達最高點C點，且在C點速度為

v

/ C

，由機械能守恒得：

1

2

m

v

2 2

=2mgR+

1

2

m

v

/2 C

解得：

v

/ C

=

12gR

＞

gR

．所以能到達C點，然后做平拋運動，水平位移為x，有
x=

12gR

4R g

=4

3

R
故b最終落到軌道離B的水平距離4

3

R處．

點評：本題綜合性較強，考查了動量守恒、機械能守恒定律以及完成圓周運動的臨界條件的應用，注意把運動過程分析清楚，正確應用相關定律求解．