Question

如圖所示，一條長為L的細線，上端固定，下端栓一質量為m的帶電小球，將它置于一勻強電場中，電場強度大小為E，方向水平向右，已知細線離開豎直位置的偏角為α時，小球處于平衡．
（1）小球帶何種電荷？求出小球所帶的電量．
（2）如果使細線的偏角由α增大到φ，然后將小球由靜止釋放，則φ為多大才能使在細線到達豎直位置時，小球的速度剛好為零？
（3）當細線與豎直方向成α角時，至少要給小球一個多大的沖量，才能使小球做圓周運動？

Answer 1

分析：（1）小球在電場中受到重力、電場力和細線的拉力而處于平衡狀態．根據細線偏離的方向，分析電場力方向，確定小球的電性．
（2）小球由較高位置釋放直至最低位置，重力做正功，電場力做負功，應用動能定理可解角度關系．
（3）若要使小球能夠完成圓周運動，則細繩應始終處于伸直狀態，當在初位置（與豎直方向成α角時）所給沖量最小時，小球運動過程速度最小時刻，重力與電場力的合力恰好充當小球運動的向心力，可求其速度值，對應從初始位置到此位置過程應用動能定理，可求初始速度，進而求出初動量，由動量定理得到所需的沖量

解答：解：
（1）根據平衡條件可知，小球受電場力方向與場強方向相同，則小球帶正電，由平衡條件得
Eq=mgtanα  ①
則，q=

mgtanα

E

②
（2）將小球由靜止釋放過程中，重力做正功，電場力做負功，動能的變化量為零，根據動能定理得
mgL（1-cosφ）-EqLsinφ=0  ③
聯立②③式得
φ=2θ   ④
（3）在細線與豎直方向成α角時，重力與電場力的合力為
F=

mg

cosα

⑤
 在小球圓周運動的最高點，重力與電場力的合力提供向心力，設此時速度為v₁，由牛頓運動定律得，
F=

mv 2 1

L

   ⑥
  設初速度為v₀，從初始位置到速度最小位置的過程應用動能定理，
-2mgL （1-cosα）-2Eqlsinα=

1

2

mv

2 1

-

1

2

mv

2 0

   ⑦
由動量定理得，小球獲得的初沖量為：
I=mv₀   ⑧
由①⑤⑥⑦⑧得 I=m

5gL cosα

答：（1）小球帶正電，電荷量為

mgtanα

E

      （2）偏角為2θ 時，釋放小球到最低點速度為零
      （3）至少要給小球一個m

5gL cosα

的沖量，才能使小球做圓周運動

點評：本題是復合場、平衡條件牛頓運動定律與動能定理動量定理的綜合應用題，涉及過程復雜，模型較多，要分解后逐個過程進行分析求解