Question

中國(guó)現(xiàn)已掌握神舟飛船與太空中目標(biāo)飛行器的自動(dòng)和手動(dòng)對(duì)接技術(shù)，這就意味著宇航員可乘飛船對(duì)在軌航天器進(jìn)行維護(hù)．宇航員現(xiàn)欲乘神舟飛船對(duì)在距月球表面高度為h圓軌道上運(yùn)行的月球衛(wèi)星進(jìn)行在軌維修．已知月球半徑R，月球表面重力加速度為g，計(jì)算過(guò)程中可不計(jì)地球引力的影響，試根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)解答下列問(wèn)題：
（1）試求維護(hù)衛(wèi)星時(shí)航天飛機(jī)的速度大小．計(jì)算結(jié)果用h、R、g表示．
（2）已知地球自轉(zhuǎn)周期為T₀，則該衛(wèi)星每天可繞月球轉(zhuǎn)幾圈？計(jì)算結(jié)果用h、R、g、T₀表示．

Answer 1

（1）根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得，在月球上有：mg=

GM月m

R2

…①
衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度為v，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

…②
聯(lián)立①②兩式得：v=

gR2 R+h

．
（2）設(shè)衛(wèi)星的運(yùn)行周期為T，根據(jù)G

Mm

(R+h)2

=m(R+h)

4π2

T2

得：
T=2π

(R+h)3 GM

=2π

(R+h)3 gR2

，
因?yàn)橐惶斓臅r(shí)間為T₀，繞一圈的時(shí)間為T，
則每天繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)為：n=

T0

T

=

T0

2π

gR2 (R+h)3

．
答：（1）維護(hù)衛(wèi)星時(shí)航天飛機(jī)的速度大小為

gR2 R+h

；
（2）該衛(wèi)星每天可繞月球轉(zhuǎn)的圈數(shù)為

T0

2π

gR2 (R+h)3

．