Question

如圖所示，在傾角θ=37°的足夠長的光滑斜面上，質量都為M=2kg的長方體板A和B之間夾有少許炸藥，在B的上表面左端疊放有一質量m=1kg的物體C（可視為質點），C與B之間的動摩擦因數μ=0.75．現無初速度同時釋放A、B、C整體，當它們沿斜面滑行s=3m時，炸藥瞬間爆炸，爆炸完畢時A的速度v_A=12m/s．此后，C始終未從B的上表面滑落．問：B的長度至少為多大？（取g=10m/s²，爆炸不會影響各物體的質量和各表面的光滑程度）

Answer 1

整體下滑階段，研究A、B、C整體，設末速度為v，由動能定理得：
  （2M+m）gssinθ=

1

2

（2M+m）v²　
解得：v=

2gssinθ

=

2×10×3×0.6

m/s=6m/s
爆炸前后，A和B組成的系統動量守恒，由動量守恒定律有：
   2Mv=Mv_A+Mv_B　
解得：v_B=0　
此后，設C在B上滑動的加速度為a_C，由牛頓第二定律有：
   mgsinθ-μmgcosθ=ma_C　
解得：a_C=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.75×0.8）=0　
對B，由牛頓第二定律有：Mgsinθ+μmgcosθ=Ma_B　
得：
   a_B=gsinθ+

μmg

M

cosθ=10×0.6+

0.75×1×10

2

×0.8=9（m/s²）
C和B經時間t達到共同速度v后將不再相對滑動，則有：t=

v

aB

板的最小長度L滿足：L=vt-

v

2

t　  
聯立解得：L=2m．　
答：B的長度至少為2m．