Question

如圖所示，內壁光滑、內徑很小的1/4圓弧管固定在豎直平面內，圓弧的半徑r為0.2m，在圓心O處固定一個電荷量為-1.0×10^-9 C的點電荷．質量為0.06kg、略小于圓管截面的帶電小球，從與O點等高的A點沿圓管內由靜止運動到最低點B，到達B點小球剛好與圓弧沒有作用力，然后從B點進入板距d=0.08m的兩平行板電容器后剛好能在水平方向上做勻速直線運動，且此時電路中的電動機剛好能正常工作．已知電源的電動勢為12V，內阻為1Ω，定值電阻R的阻值為6Ω，電動機的內阻為0.5Ω．求（取g=10m/s²，靜電力常量k=9.0×10⁹N?m²/C²）
（1）小球到達B點時的速度；
（2）小球所帶的電荷量；
（3）電動機的機械功率．

Answer 1

分析：（1）小球從A運動到B過程，受重力、電場力和彈力，只有重力做功，機械能守恒，根據守恒定律列式求解B點速度；
（2）小球到達B點時剛好與圓弧沒有作用力，受重力和靜電引力，合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解；
（3）球在電場中做勻速直線運動，受重力和電場力平衡，根據平衡條件求解出電壓，然后根據歐姆定律求解干路電流，最后結合閉合電路歐姆定律求解電動機的輸入電壓；電動機的機械功率等于電功率減去熱功率．

解答：解：（1）由機械能守恒得：mgr=

1

2

m

v

2 B

           
解得：v_B=2m/s                              
（2）到達B點恰好作用力為0，由牛頓第二定律得：

kQq

r2

-mg=m

v 2 B

r

                              
解得：q=8×10^-3C                           
（3）設電容器兩端電壓為U，由二力平衡得：

qU

d

=mg                           ①
由歐姆定律得：I=

U

R

                 ②
所以，電動機兩端電壓：U_M=E-U-Ir    ③
P機=P總-P熱=IUM-I2rM             ④
聯立①②③④解得：P_機=4.5W
答：（1）小球到達B點時的速度為2m/s；
（2）小球所帶的電荷量為8×10^-3C；
（3）電動機的機械功率為4.5W．

點評：本題是力電綜合問題，關鍵明確粒子的運動規律，根據機械能守恒定律和平衡條件求解電容器的電壓，然后結合閉合電路歐姆定律列式求解電動機的輸入電壓和電流．