Question

如圖所示，位于豎直平面上的

1

4

圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，圓弧軌道上端A點距地面高度為H，質量為m的小球從A點靜止釋放，最后落在地面C點處，不計空氣阻力．求：
（1）小球剛運動到B點時，對軌道的壓力多大？
（2）小球落地點C與B的水平距離S為多少？
（3）比值

R

H

為多少時，小球落地點C與B水平距離S最遠？該水平距離的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）小球由A→B過程中，只有重力做功，根據機械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點拋出后做平拋運動，根據平拋運動的位移公式求解；
（3）利用數學知識分析水平位移的表達式即可求解水平位移的最大值．

解答：解：（1）小球沿圓弧做圓周運動，在B點由牛頓第二定律，有：NB-mg=m

vB2

R

；
從A到B，以B點為零勢能點，由機械能守恒定律，有：mgR=

1

2

mvB2，
由以上兩式得：N_B=3mg；
（2）小球離開B點后做平拋運動，拋出點高為H-R，有：H-R=

1

2

gt2，
s=v_Bt，
vB=

2gR

，
解得：s=

4HR-4R2

=

H2-(2R-H)2

．
（3）由（2）可知，當2R=H時，即

R

H

=

1

2

時，S有最大值，
即s_max=H；
答：
（1）小球剛運動到B點時，對軌道的壓力為3mg．
（2）小球落地點C與B的水平距離S為

H2-(2R-H)2

．
（3）比值

R

H

為

1

2

時，小球落地點C與B水平距離S最遠，該水平距離的最大值是H．

點評：本題關鍵對兩個的運動過程分析清楚，然后選擇機械能守恒定律和平拋運動規律列式求解．考查運用數學知識處理物理問題的能力．