Question

如圖甲所示，光滑且足夠長的平行金屬導軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導軌間距L=lm，電阻R₁=3Ω，R₂=1.5Ω，導軌上放一質量m=1kg的金屬桿，長度與金屬導軌等寬，與導軌接觸良好，金屬桿的電阻r=1.0Ω，導軌電阻忽略不計，整個裝置處于磁感應強度B=1.0T的勻強磁場中，磁場的方向垂直導軌平面向下．現用一拉力F沿水平方向拉桿，使金屬桿由靜止開始運動．圖乙所示為通過金屬桿中的電流平方（I²）隨位移（x）變化的圖線，當金屬桿運動位移為5m時，求：

（1）金屬桿的動能：
（2）安培力的功率；
（3）拉力F的大小．

Answer 1

分析：（1）由乙讀出I₁²，得到電流I₁，由電路中并聯電路關系求出干路中電流，由閉合電路歐姆定律求得感應電動勢，由E=BLv求出金屬桿的速度，即可求得其動能；
（2）由F=BIL求出桿所受的安培力F_A，位移為5m時安培力的功率P_A=F_Av．
（3）由圖象得到I²與x的關系式，根據E=BLv和歐姆定律得到I與v的關系式，聯立得到v與x的關系式，即可求得棒的加速度，再根據牛頓第二定律求解拉力F的大小．

解答：解：（1）由圖知：金屬桿運動位移為5m時，I₁²=16A²，則得：I₁=4A
R₁與R₂并聯電阻值：R_并=

R1R2

R1+R2

=

3×1.5

3+1.5

Ω=1Ω，
感應電動勢 E=BLv=I₁（R_并+r）
金屬桿的速度v=

I1(R并+r)

BL

=

4×(1+1)

1×1

m/s=8m/s
金屬桿運動位移為5m時金屬桿的動能E_k=

1

2

mv²=

1

2

×1×8²=32J
（2）安培力大小為：F_A=BI₁L=1×4×1=4N
安培力的功率為：P_A=F_Av=4×8W=32W
（3）由圖可知I²=3.2x
則 I=

E

R

=

BLv

R

=0.5v，得：v²=4I²=12.8x，
可知金屬桿做初速度為零的勻加速直線運動，加速度 a=6.4m/s²，
根據 F-F_A=ma
代入解得：F=10.4N
答：（1）金屬桿的動能是32J：（2）安培力的功率是32W；（3）拉力F的大小是10.4N．

點評：本題整合了電路、力學和電磁感應中：歐姆定律、焦耳定律、動能定理等等多個知識點，關鍵運用數學知識分析和理解圖象的物理意義．