Question

如圖所示，有一個連通的，上、下兩層均與水平面平行的“U”型的光滑金屬平行導軌，在導軌面上各放一根完全相同的質量為m的勻質金屬桿A₁和A₂，開始時兩根金屬桿與軌道垂直，在“U”型導軌的右側空間存在磁感應強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場，桿A₁在磁場中，桿A₂在磁場之外．設兩導軌面相距為H，平行導軌寬為L，導軌足夠長且電阻不計，金屬桿單位長度的電阻為r．現在有同樣的金屬桿A₃從左側半圓形軌道的中點從靜止開始下滑，在下面與金屬桿A₂發生碰撞，設碰撞后兩桿立刻粘在一起并向右運動．求：
（1）回路內感應電流的最大值；
（2）在整個運動過程中，感應電流最多產生的熱量；
（3）當桿A₂、A₃與桿A₁的速度之比為3：1時，A₁受到的安培力大小．

Answer 1

分析：金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個金屬U形導軌上都做變速運動，運動方向相同（都向右），同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢，兩個感應電動勢在空間中的方向相同（都向外），但兩個感應電動勢在回路中的方向相反，所以總電動勢是這兩個電動勢之差，即E=BL（v₁-v₂），電流是I=

BL(v1-v2)

R

，方向為金屬桿A₁中感應電流的方向，因為A₁比A₂產生的感應電動勢大，安培力是F=

B2L2(v1-v2)

R

，方向都和速度方向相反（都向左）．
根據平拋運動規律、動量守恒定律、能量守恒定律解決問題．

解答：解：（1）設A₃桿下滑與A₂桿碰前速度大小為v₀，依據動能定理有：

1

2

m

v

2 0

-0=mg

H

2

得：v0=

gH

設A₃A₂碰后速度大小為v₁，依據動量守恒有：mv₀=2mv₁
得：v1=

1

2

gH

感應電動勢的最大值：E=BLv1=

BL gH

2

閉合回路的總電阻：R=rL+

rL

2

=

3rL

2

電流的最大值：Im=

E

R

=

B gH

3r

（2）設A₁A₂A₃桿的共同速度大小為v₂，依據動量守恒有：mv₀=3mv₂
得：v2=

v0

3

=

1

3

gH

依據能量關系，感應電流最多產生的熱量：Q=

1

2

2m

v

2 1

-

1

2

3m

v

2 2

=

1

12

mgH
（3）設A₁桿速度大小為v，則A₂A₃桿的速度大小為3v
依據動量守恒有：mv₀=mv+2m×3v
得：v=

v0

7

=

1

7

gH

此時回路中的感應電動勢：E′=BL3v-BLv=2BLv=

2

7

BL

gH

感應電流I′=

E′

R

A₁桿受到的安培力：F安=BI′L=

4B2L gH

21r

答：（1）回路內感應電流的最大值為

B gH

2

；
（2）在整個運動過程中，感應電流最多產生的熱量為

1

12

mgH；
（3）當桿A₂、A₃與桿A₁的速度之比為3：1時，A₁受到的安培力大小為

4B2L gH

21r

．

點評：注重金屬桿A₁、A₂兩桿的運動過程分析，清楚同一時刻兩桿都切割磁感線產生感應電動勢時，根據兩個感應電動勢在回路中的方向會求出電路中總的感應電動勢．