Question

（16分）如圖甲所示，兩水平放置的平行金屬板A、B的板長，板間距離d=0.10m，在金屬板右側有一范圍足夠大，方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=1.0×10^-2T，其左邊界為y軸．在t=0時刻，兩金屬板間加如圖乙所示的正弦交變電壓．現從t=0開始，位于極板左側的粒子源沿x軸向右以1000個/秒的數量連續均勻發射帶正電的粒子，粒子均以的初速度沿x軸進入電場，經電場后部分粒子射入磁場．已知帶電粒子的比荷，粒子通過電場區域的極短時間內，極板間的電壓可以看作不變，不計粒子重力，不考慮極板邊緣及粒子間相互影響．試求：

（1）t＝0時刻進入的粒子，經邊界y軸射入磁場和射出磁場時兩點間的距離；
（2）每秒鐘有多少個粒子進入磁場；
（3）何時刻由粒子源進入的帶電粒子在磁場中運動時間最長，求最長時間t_m（π≈3）．

Answer 1

（1）1.38m（2）每秒鐘有500個粒子進入磁場（3）t_m="3.2" ×10^-5s

試題分析：（1）t＝0時，U_AB=0，帶電粒子在極板間不偏轉，水平射入磁場，
由：  (1分) 得：    (1分)
射入和射出磁場時，兩點間的距離為 (1分)
（2）假設兩極板電壓為u時，由O點射入的粒子剛好從板的邊緣進入磁場，則有
 (1分) ； (1分)；  (1分)；  (1分)；
解得：  (1分)
由乙圖可知，在每個周期內，只有，，時間段內由O射入的粒子才能通過電場進入磁場，即只有半個周期內有粒子能進入磁場，所以每秒鐘有500個粒子進入磁場．（2分）
（3）只有當A板電勢高于B板電勢，且沿B板右側邊緣進入磁場的粒子，由于在電場中的偏轉角最大，使得其在磁場中做圓周運動對應的圓心角最大，故在磁場中運動的時間最長，如圖所示．即：,（……）(1分)

或：,（……）(1分)
這些時刻入射的粒子在磁場中運動的時間最長．
由帶電粒子在電場中做類平拋運動的特點可得： ，θ=30°（1分）
設粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T，所求的最長 時間為t_m，則有：（1分）
由幾何關系得粒子在磁場中運動的圓心角為，
則： （1分） 解得：t_m="3.2" ×10^-5s（1分
點評：本題難度較大，如果粒子以垂直磁場邊界射入，必垂直磁場邊界射出，處理帶電粒子在勻強磁場中的偏轉問題，首先要先畫出大概的運動軌跡，先找圓心后求半徑，處理邊界磁場問題時，應巧妙應用對稱性是解題的技巧