Question

電磁爐專用平底鍋的鍋底和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成.起加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導(dǎo)電環(huán).導(dǎo)電環(huán)所用的材料單位長度的電阻R＝0.125π Ω/m，從中心向外第n個(gè)同心圓環(huán)的半徑為r_n＝（2n-1）r₁（n為正整數(shù)且n≤7），已知r₁=1.0 cm.當(dāng)電磁爐開啟后，能產(chǎn)生垂直于鍋底方向的變化磁場，已知該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率為，忽略同心導(dǎo)電圓環(huán)電流之間的相互影響.

（1）求出半徑為r_n的導(dǎo)電圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢瞬時(shí)表達(dá)式；

（2）半徑為r₁的導(dǎo)電圓環(huán)中感應(yīng)電流的最大值I₁m是多大？（計(jì)算中可取π²=10）

（3）若不計(jì)其他損失，所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率P是多大？

Answer 1

（1）E_n=100π²(2n-1)²r₁²sinωt  (2)4 A  (3)1.9×10³ W

解析:

（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，半徑為r_n的導(dǎo)電圓環(huán)中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢瞬時(shí)表達(dá)式為E_n=π²(2n-1)²r₁²sinωt．

（2）第一個(gè)環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值為E_1m=100π²r₁²，第一個(gè)環(huán)的電阻R₁=0.125π×2πr₁，故第一個(gè)環(huán)中電流的最大值為I_1m==400r₁=A．

（3）第n環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢的最大值為E_nm=100π²r_n²，第n環(huán)的電阻R_n=0.125π×2πr_n，故第n環(huán)中電流的最大值為I_nm=．

第n環(huán)中電流的有效值I_n=I_n²R_n=4×10⁴π²r_n³=4×10⁵r_n³，所有導(dǎo)電圓環(huán)的總功率為

P=4×10⁵(r₁³+r₂³+r₃³+…+r_n³)=4×10⁵×(1³+2³+3³+…+13³)×0.01³≈1.9×10³ W．