Question

如圖所示，兩個(gè)金屬輪A₁、A₂，可繞通過各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，O₁和O₂相互平行，水平放置。每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長為a₂、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略。半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起。一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P。當(dāng)P下落時(shí)，通過細(xì)繩帶動(dòng)D和A₁繞O₁軸轉(zhuǎn)
動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，A₁、A₂保持接觸，無相對滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連。除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬的電阻都不計(jì)。整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與轉(zhuǎn)軸平行。現(xiàn)將P釋放，試求P勻速下落時(shí)的速度。

Answer 1

v=

P被釋放后，細(xì)繩的張力對D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A₁作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過兩個(gè)輪子之間無相對運(yùn)動(dòng)的接觸，A₁帶動(dòng)A₂作順時(shí)針的加速運(yùn)動(dòng)。由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場線，所以在A₁產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢，在A₂產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路。A₁、A₂中各輻條上流有沿電動(dòng)勢方向的電流，在磁場中輻條受到安培力。不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢頭減緩。A₁、A₂從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)P勻速下落，設(shè)其速度為v，則A₁的角速度  (1)
A₁帶動(dòng)A₂轉(zhuǎn)動(dòng)，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關(guān)系為ω₁a₁=ω₂a₂ （2）
A₁中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢均為 （3）
軸與輪邊之間的電動(dòng)勢就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢的并聯(lián)，其數(shù)值見（3）式。
同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢的并聯(lián)，其數(shù)值為（4）
A₁中每根輻條的電阻為R₁，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A1=（5）  
A₂中每根輻條的電阻為R₂，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A2=（6）
A₁輪、A₂輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為I=（7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得I=（8）
當(dāng)P勻速下降時(shí)，對整個(gè)系統(tǒng)來說，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即
mgv=I²(R++)  （9）    
以（8）式代入（9）式得v=(10)