Question

如圖18-1，勁度系數為k的輕質彈簧一端固定在墻上，另

一端和質量為M的容器連接，容器放在光滑水平的地面上，
當容器位于O點時彈簧為自然長度，在O點正上方有一滴管，
容器每通過O點一次，就有質量為m的一個液滴落入容器，
開始時彈簧壓縮，然后撒去外力使容器圍繞O點往復運動， 
求：
小題1:(1)容器中落入n個液滴到落入（n+1）個液滴的時間間  
隔；
小題2:(2)容器中落入n個液滴后，容器偏離O點的最大位移。

Answer 1

小題1:△t =π
小題2:L_n=L₀

本題中求容器內落入n個液滴后偏離O點的最大位移時，若從動量守恒和能量守恒的角度求解，將涉及彈簧彈性勢能的定量計算，超出了中學大綱的要求，如果改用動量定理和動量守恒定律求解，則可轉換成大綱要求的知識的試題。  
小題1:(1)彈簧振子在做簡諧運動過程中，影響其振動周期的因素有振子的質量和恢復系數(對彈簧振子即為彈簧的勁度系數)，本題中恢復系數始終不變，液滴的落入使振子的質量改變，導致其做簡諧運動的周期發生變化。
容器中落入n個液滴后振子的質量為（M+nm），以n個液滴落入后到第（n+1）個液滴落入前，這段時間內系統做簡諧運動的周期T_n=2π，容器落入n個液滴到（n+1）個液滴的時間間隔△t=T_n /2，所以
△t =π
小題2:(2)將容器從初始位置釋放后，振子運動的動量不斷變化，動量變化的原因是水平方向上彈簧彈力的沖量引起的，將容器從靜止釋放至位置O的過程中，容器的動量從零增至p，因容器位于Ｏ點時彈簧為自然長度，液滴在O點處落入容器時，容器和落入的液滴系統在水平方向的合力為零， 根據動量守恒定律，液滴在Ｏ處的落入并不改變系統水平方向的動量，所以振子處從位置O到兩側相應的最大位移處，或從兩側相應在的最大位移處到位置Ｏ的各1/4周期內，雖然周期Ｔ_n和對應的最大位移L_n在不斷變化，但動量變化的大小均為△p=p－0=p，根據動量定理可知識，各1/4周期內彈力的沖量大小均相等，即：
F₀(t)·T₀/4 = F_n(t)·T_n/4
其中T₀是從開始釋放到第一次到O點的周期，Ｔ₀=2π。T_n是n個液滴落入后到（n+1）個液滴落入容器前振子的周期，T_n=2π。而F₀(t) 和F_n(t)分別為第一個1/4周期內和n個液滴落入后的1/4周期內彈力對時間的平均值，由于在各個1/4周期內振子均做簡諧運動，因而彈力隨時間均按正弦（或余弦）規律變化，隨時間按正弦（或余弦）變化的量在1/4周期內對時間的平均值與最大值之間的關系，可用等效方法求出，矩形線圈在勻強磁場中勻速轉動時，從中性而開始計地，產生的感應電動勢為ε=ε_msinωt=　NbωSsinωt。ε按正弦規律變化，根據法拉第電磁感應定律ε=N，ε在1/4周期內對時間的平均值ε=2ε_m/π。這一結論對其它正弦（或余弦）變化的量對時間的平均值同樣適用，則有
F₀(t)=2kL₀/π，F_n(t)=2kL_n/π
代入前式解得：L_n=L₀