Question

如圖，EF與GH間為一無場區(qū)．無場區(qū)左側(cè)A、B為相距為d、板長為L的水平放置的平行金屬板，兩板上加某一電壓從而在板間形成一勻強(qiáng)電場，其中A為正極板．無場區(qū)右側(cè)為一點(diǎn)電荷形成的電場，點(diǎn)電荷的位置O也為圓弧形細(xì)圓管CD的圓心，圓弧半徑為R，圓心角為120°，O、C在兩板間的中心線上，D位于GH上．一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子以初速度v₀沿兩板間的中心線射入勻強(qiáng)電場，粒子出勻強(qiáng)電場經(jīng)無場區(qū)后恰能進(jìn)入細(xì)圓管，并作與管壁無碰撞的勻速圓周運(yùn)動．（靜電力常數(shù)為k，不計(jì)粒子的重力、管的粗細(xì)）求：
（1）粒子射出勻強(qiáng)電場時(shí)的偏轉(zhuǎn)角；
（2）O處點(diǎn)電荷的帶電量；
（3）帶電粒子穿越勻強(qiáng)電場過程中垂直極板方向的位移大小．
（4）兩金屬板所加的電壓．

Answer 1

分析：（1）畫出粒子的運(yùn)動軌跡，根據(jù)推論，作出速度反向延長線交中心線于K點(diǎn)，由幾何關(guān)系得到速度的偏向角．
（2）根據(jù)粒子進(jìn)入細(xì)圓管，與管壁無相互擠壓做勻速圓周運(yùn)動．即可點(diǎn)電荷帶負(fù)電．由庫侖力提供向心力，由牛頓第二定律求出O處點(diǎn)電荷的帶電量．
（3）（4）帶電粒子穿越勻強(qiáng)電場過程中做類平拋運(yùn)動，水平方向做勻速運(yùn)動，豎直方向做初速度為零的勻加速運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求出帶電粒子穿越勻強(qiáng)電場過程中垂直極板方向的位移大小和板間電壓．

解答：解：（1）粒子運(yùn)動軌跡如圖，設(shè)出勻強(qiáng)電場時(shí)速度反向延長線交中心線于K點(diǎn)，由幾何關(guān)系得：
∠DKO=∠DOC-∠KDO
因圓弧圓心角∠DOC=120°，∠KDO=90°
所以∠DKO=30°，即為粒子出勻強(qiáng)電場的偏轉(zhuǎn)角為30°．
（2）設(shè)O處點(diǎn)電荷的帶電量為Q，粒子進(jìn)入細(xì)管的速度為v_合，由偏轉(zhuǎn)角為30°可得：

v0

v合

=cos30°
粒子進(jìn)入圓管后受到點(diǎn)電荷Q的庫侖力作勻速圓周運(yùn)動，粒子帶正電，則知O處點(diǎn)電荷帶負(fù)電．
且有：k

Qq

R2

=m

v 2 合

R

  即：Q=

4m v 2 0 R

3kq

（3）垂直板方向的位移：y=

1

2

(0+vy)t=

1

2

(0+

v0

3

)?

L

v0

=

3 L

6

（4）設(shè)板間所加電壓為U，出勻強(qiáng)電場時(shí)的豎直方向速度為v_y，由偏轉(zhuǎn)角為30°可得：

vy

v0

=tan30°
在勻強(qiáng)電場中粒子作類平拋運(yùn)動，
v_y=at
t=

L

v0

a=

qU

md

得：U=

3 m v 2 0 d

3qL

答：
（1）粒子出勻強(qiáng)電場時(shí)，速度與水平方向的夾角是30°；
（2）O處點(diǎn)電荷帶負(fù)電，帶電量是

4m v 2 0 R

3kq

；
（3）帶電粒子穿越勻強(qiáng)電場過程中垂直極板方向的位移大小是

3 L

6

；
（4）兩金屬板所加的電壓是

3 m v 2 0 d

3qL

．

點(diǎn)評：本題是電場中偏轉(zhuǎn)與圓周運(yùn)動的綜合，類平拋運(yùn)動的研究方法是運(yùn)動的分解和合成，圓周運(yùn)動的關(guān)鍵是確定向心的來源．