Question

如圖，EF與GH間為一無場區．無場區左側A、B為相距為d、板長為L的水平放置的平行金屬板，兩板上加某一電壓從而在板間形成一勻強電場，其中A為正極板．無場區右側為一點電荷形成的電場，點電荷的位置O也為圓弧形細圓管CD的圓心，圓弧半徑為R，圓心角為120°，O、C在兩板間的中心線上，D位于GH上．一個質量為m、電量為q的帶正電粒子以初速度v₀沿兩板間的中心線射入勻強電場，粒子出勻強電場經無場區后恰能進入細圓管，并作與管壁無相互擠壓的勻速圓周運動．（不計粒子的重力、管的粗細）求：
（1）粒子出勻強電場時，速度與水平方向的夾角；
（2）O處點電荷的電性和帶電量；
（3）帶電粒子穿越勻強電場過程中垂直極板方向的位移大小．
（4）兩金屬板所加的電壓．

Answer 1

分析：（1）畫出粒子的運動軌跡，根據推論，作出速度反向延長線交中心線于K點，由幾何關系得到速度的偏向角．
（2）根據粒子進入細圓管，與管壁無相互擠壓做勻速圓周運動．即可點電荷帶負電．由庫侖力提供向心力，由牛頓第二定律求出O處點電荷的帶電量．
（3）（4）帶電粒子穿越勻強電場過程中做類平拋運動，水平方向做勻速運動，豎直方向做初速度為零的勻加速運動，由牛頓第二定律和運動學公式求出帶電粒子穿越勻強電場過程中垂直極板方向的位移大小和板間電壓．

解答：解：（1）粒子運動軌跡如圖，設出勻強電場時速度反向延長線交中心線于K點，由幾何關系得：
∠DKO=∠DOC-∠KDO
因圓弧圓心角∠DOC=120°，∠KDO=90°
所以∠DKO=30°，即為粒子出勻強電場的偏轉角為30°．
（2）設O處點電荷的帶電量為Q，粒子進入細管的速度為v_合，由偏轉角為30°可得：

v0

v合

=cos30°
粒子進入圓管后受到點電荷Q的庫侖力作勻速圓周運動，粒子帶正電，則知O處點電荷帶負電．
且有：k

Qq

R2

=m

v 2 合

R

  即：Q=

4m v 2 0 R

3kq

（3）垂直板方向的位移：y=

1

2

(0+vy)t=

1

2

(0+

v0

3

)?

L

v0

=

3 L

6

（4）設板間所加電壓為U，出勻強電場時的豎直方向速度為v_y，由偏轉角為30°可得：

vy

v0

=tan30°
在勻強電場中粒子作類平拋運動，
v_y=at
t=

L

v0

a=

qU

md

得：U=

3 m v 2 0 d

3qL

答：
（1）粒子出勻強電場時，速度與水平方向的夾角是30°；
（2）O處點電荷帶負電，帶電量是

4m v 2 0 R

3kq

；
（3）帶電粒子穿越勻強電場過程中垂直極板方向的位移大小是

3 L

6

．
（4）兩金屬板所加的電壓是

3 m v 2 0 d

3qL

．

點評：本題是電場中偏轉與圓周運動的綜合，類平拋運動的研究方法是運動的分解和合成，圓周運動的關鍵是確定向心的來源．