Question

如圖所示是游樂場中過山車軌道的模型圖．圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的A、B兩點，且與斜軌道之間圓滑連接，兩圓形軌道的最高點C、D均與P點平齊．現使小車（視為質點）從P點以一定的
初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．問：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，則它在P點的初速度應為多大？（2）若小車在P點的初速度為15m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據重力恰好提供向心力求出C點的速度，然后對從P到C過程運用動能定理列式求解；
（2）先求出小車恰好過D的臨界速度，然后對從P到D過程運用動能定理列式求解出能運動到D點的最小速度，再與已知速度相比較得出結論．
解答：解：（1）設小車經過C點時的臨界速度為v₁，則

設P、A兩點間距離為L₁，由幾何關系可得

小車從P運動到C，根據動能定理，有

解得 v=6m/s
即若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，則它在P點的初速度應為6m/s．
（2）設P、B兩點間距離為L₂，由幾何關系可得

設小車能安全通過兩個圓形軌道在D點的臨界速度為v₂，則

設P點的初速度為v'小車從P運動到D，根據動能定理，有

解得
v'=12m/s，可知v'=12m/s＜15m/s
故小車能安全通過兩個圓形軌道．
點評：本題關鍵是先求出小車經過最高點的臨界速度，然后對從開始到最高點過程運用動能定理列式求解．