Question

如圖所示是游樂場中過山車的模型圖，圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為θ=37°斜軌道面上的A、B兩點，且兩圓形軌道的最高點C、D均與P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接，現使小車（視為質點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動，已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=

1

6

，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．問：
（1）若小車恰能通過第一個圓形軌道韻最高點C，則在C點速度多大？PA距離多人？
（2）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，P點的初速度應為多大？
（3）若小車在P點的初速度為15m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

分析：（1）小車恰好通過最高點C，說明重力完全提供向心力，根據牛頓第二定律列式求出C點速度；PA間的距離可以根據幾何關系求解，可以過O₁點作一條水平線作為輔助線，也可以連接點PO₁，然后通過半角公式求解出PA間距．
（2）小車從P到C的整個運動過程中，重力先做正功，后做負功，總功為零，支持力也不做功，故只有摩擦力做功，根據動能定理列式求解；
（3）先求出小車恰能通過D點的臨界速度，然后根據動能定理對P到D過程列式，求出對應的初速度，與已知的初速度比較即可．

解答：解：（1）設小車經過C點時的臨界速度為v₁，則
mg=m

v 2 1

R1

解得
v₁=

gR1

=

10×2

=2

5

m/s
設P、A兩點間距離為L₁，由幾何關系可得L1=

R1

tan θ 2

=

R1(1+cosθ)

sinθ

即C點速度為2

5

m/s，PA距離為

R1(1+cosθ)

sinθ

．
（2）從P運動到C，根據動能定理，有
-μmgcosθ?L1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得
v₀=6m/s
即P點的初速度應為6m/s．
（3）設P、B兩點間距離為L₂，由幾何關系可得
L2=

R2(1+cosθ)

sinθ

設小車能恰能完全通過兩個圓形軌道，在D點的臨界速度為v₂，則
mg=m

v 2 2

R2

設P點的初速度為v₀′小車從P運動到D，根據動能定理，有
-μmgL2cosθ=

1

2

m

v′

2 2

-

1

2

m

v

2 0

v₀′=12m/s
可知v₀′=12m/s＜15m/s，能安全通過．

點評：本題關鍵根據動能定理對各個過程列式，難點在于幾何關系的確定，切入點在于小車恰能通過最高點．