Question

（1）如圖1所示，光滑水平面上有兩個小球A、B，A球以速度v₁與原來靜止的B球發生正碰，且碰撞過程中無機械能損失．設A球的質量為m₁，B球的質量為m₂．
a．求碰撞后它們的速度v₁'和v₂'；
b．若A的初動能E_k1是一個定值，試論證當m₁、m₂滿足什么關系時，A傳給B的動能最少？
（2）如圖2所示，將A、B球分別用等長的細線豎直懸掛起來，使它們剛好接觸．懸點到球心的距離均為L．讓B球靜止在最低點，將A球向左拉起一個很小的偏角θ，然后釋放，兩球在最低點發生正碰且碰撞過程中無機械能損失．若m₂=3m₁，不考慮空氣阻力的影響，釋放A球時開始計時（t=0），求兩球每次碰撞后的速度以及每次碰撞的時刻．

Answer 1

分析：（1）兩球碰撞過程動量守恒、機械能守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出兩球碰撞后的速度；
由動能定理求出A對B做的功，然后由數學知識求出兩物體質量滿足什么關系時，A傳給B的動能最少．
（2）兩球碰撞過程動量守恒、機械能守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出球的速度，兩球做簡諧運動，分析它們的運動過程，求出碰撞時間．

解答：解：（1）a、兩個小球A、B發生彈性碰撞，動量守恒、機械能守恒，以A、B組成的系統為研究對象，A的初速度方向為正方向，由動量守恒得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
由機械能守恒定律得：

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1v1′2+

1

2

m2v2′2，
解得碰撞后它們的速度：v1′=

m1-m2

m1+m2

v1，v2′=

2m1

m1+m2

v1；
b、對B，由動能定理得：Ek2=

1

2

m2v2′2=

1

2

m2(

2m1

m1+m2

v1)2=

4

m1 m2 + m2 m1 +2

?Ek1，
當 m₁＞＞m₂或 m₁＜＜m₂時，A傳給B的動能最少；
（2）A球向下擺動的過程中，由機械能守恒定律得：
m1gL(1-cosθ)=

1

2

m1v12，
解得：v1=

2gL(1-cosθ)

；
以A、B組成的系統為研究對象，A的初速度方向為正方向，由動量守恒得：
m₁v₁=m₁v₁′+m₂v₂′，
由機械能守恒定律得：

1

2

m1

v

2 1

=

1

2

m1v1′2+

1

2

m2v2′2，
已知：m₂=3m₁，
解得A、B第一次碰撞后兩球的速度：v1′=-

v1

2

，v2′=

v1

2

，
A、B第二次碰撞，由動量守恒定律得：m₁

v1

2

+3m₁（-

v1

2

）=m₁v₁″+3m₁v₂″，
由能量守恒定律得：

1

2

m₁(

v1

2

)2+

1

2

?3m₁(-

v1

2

)2=

1

2

m₁v₁″^2₊=

1

2

?3m₁v₂″²，
第二次碰撞后兩球的速度：v₁″=-v₁，v₁″=0；
第三次碰撞過程與第一次相同，第四次碰撞過程與第二次相同，…
第一次、第三次、第五次、…A、B碰撞后的速度：v1′=-

2gL(1-cosθ)

2

，v2′=

2gL(1-cosθ)

2

，
第二次、第四次、第六次、…A、B碰撞后的速度：v₁″=-

2gL(1-cosθ)

，v₂″=0，
單擺做簡諧運動的周期：T=2π

L g

，
兩球發生碰撞的時刻：t=

T

4

+n

T

2

=(2n+1)

π

2

L g

（其中n=0，1，2，3，…）．
答：（1）a、兩球碰撞后它們的速度分別為：v1′=

m1-m2

m1+m2

v1，v2′=

2m1

m1+m2

v1；
b、當 m₁＞＞m₂或 m₁＜＜m₂時，A傳給B的動能最少．
（2）兩球每次碰撞后的速度為：
第一次、第三次、第五次、…A、B碰撞后的速度：v1′=-

2gL(1-cosθ)

2

，v2′=

2gL(1-cosθ)

2

，
第二次、第四次、第六次、…A、B碰撞后的速度：v₁″=-

2gL(1-cosθ)

，v₂″=0，
每次碰撞的時刻為：t=

T

4

+n

T

2

=(2n+1)

π

2

L g

（其中n=0，1，2，3，…）．

點評：本題難度較大，是一道難題，分析清楚物體的運動過程是正確解題的關鍵，應用動能定律、動量守恒定律、機械能守恒定律即可正確解題．