Question

如圖所示，粗糙水平面AB與豎直面內的光滑半圓形導軌在B點銜接，A、B之間間距為L，半圓形導軌半徑為R，一個質量為m的靜止的小球在A處與一壓縮彈簧靠在一起，釋放小球后，小球開始向右運動，與彈簧分離后，經過B點進入導軌瞬間對導軌的壓力為其重力的8倍，之后沿導軌運動到C點，已知小球與水平面AB間的動摩擦因數為μ，重力的加速度為g，求：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能；
（2）小球運動到最高點C時對導軌的壓力；
（3）小球離開最高點C后落回水平面時離B點的距離．

Answer 1

分析：（1）研究物體經過B點的狀態，根據牛頓第二定律求出物體經過B點的速度，得到物體的動能，物體從A點至B點的過程中，根據能量守恒定律求解．
（2）物體到達C點時，由重力和軌道的彈力的合力充當向心力，由牛頓第二定律求出小球運動到最高點C時對導軌的壓力；
（3）小球離開最高點C后做平拋運動，根據平拋運動的規律和幾何關系求解落回水平面時離B點的距離．

解答：解：（1）物塊在B點時，支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

；
由題意：F_N=8mg
聯立解得：v_B=

7gR

；
物體經過B點的動能：E_KB=

1

2

m

v

2 B

=3.5mgR；
在物體從A點至B點的過程中，根據能量守恒定律，彈簧的彈性勢能：
E_p=E_kB+μmgL=3.5mgR+μmgL=mg（3.5R+μL）；
（2）物體到達C點時，支持力與重力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律有：mg+N=m

v 2 C

R

，
小球從B到C過程，只有重力做功，機械能守恒，根據機械能守恒定律得：
mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 B

；
又 v_B=

7gR

；
聯立上三式得：N=2mg，v_C=

3gR

根據牛頓第三定律得，小球運動到最高點C時對導軌的壓力為：N′=N=2mg；
（3）小球離開最高點C后做平拋運動，則得：
豎直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：x=v_Ct
解得：x=2

3

R．
則小球離開最高點C后落回水平面時離B點的距離為2

3

R．
答：（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能為mg（3.5R+μL）；
（2）小球運動到最高點C時對導軌的壓力為2mg；
（3）小球離開最高點C后落回水平面時離B點的距離為2

3

R．

點評：本題的解題關鍵是正確分析物體的運動過程和狀態，確定過程和狀態遵守的物理規律，能根據牛頓第二定律求出物體經過B點的速度，再結合能量守恒定律和平拋運動的知識求解．