Question

如圖所示，在傾角θ=30°、足夠長的斜面上分別固定著兩個物體A．B，相距L=0.2m，它們的質量m_A=m_B=2kg，與斜面間的動摩擦因數分別為μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0時刻同時撤去固定兩物體的外力后，在然后的運動中，A與B物體發生連續碰撞（碰撞時間極短，忽略不計），每次碰后兩物體都相互交換速度．g取10m/s²．問：
（1）A與B第一次碰前的瞬時A、B的速率分別是多大
（2）從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷多長時間？
（3）從開始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功分別是多少？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律結合運動學公式求出A、B碰前瞬間的速率．
（2）兩物體碰后，交換速度，A做初速度為零的勻加速直線運動，B做勻速直線運動，結合運動學公式求出追及的時間，再求出開始A與B碰前所需的時間，從而得出從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷的時間．
（3）結合運動學公式得出A、B物體速度的變化規律，分別求出A、B的位移，從而求出從開始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功．

解答：解：（1）A物體沿斜面下滑時有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_AgcosθaA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　                
B物體沿斜面下滑時有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
分析可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動．                                    
A與B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s，B的速率為零                  
（2）從AB開始運動到第一次碰撞用時t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
兩物體相碰后，A物體的速度變為零，以后再做勻加速運動，而B物體將以v_B2=v'_B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線運動．                
設再經t₂時間相碰，則有v′B1t2=

1

2

a

t

2 2

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　　                 
故從A開始運動到兩物體第二次相碰，共經歷時間
t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s                                             
（3）從第2次碰撞開始，每次A物體運動到與B物體碰撞時，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段時間內，B物體都做勻速直線運動，則第n次碰前所運動的距離為
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物體比B物體多運動L長度，則
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　                             
則w_A=μ_Am_Agcosθs_A=1+2n（n-1）J　                        
w_B=μ_Bm_Bgcosθs_B=4n（n-1）J      
答：（1）A與B第一次碰前的瞬時A、B的速率分別是1m/s，0m/s．
（2）從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷1.2s．
（3）從開始撤去固定兩物體的外力至第n次碰撞時A、B兩物體各自克服摩擦阻力做的功分別是1+2n（n-1）J、4n（n-1）J．

點評：本題考查了牛頓第二定律和運動學公式的綜合，關鍵需理清運動過程，知道A、B的運動情況，結合運動學公式進行求解．