Question

如圖所示，甲、乙兩光滑圓軌道放置在同一豎直平面內，甲軌道半徑是R且為乙軌道半徑的2倍，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個小球夾住，但不拴接．如果a、b兩個小球的質量均為m，同時釋放兩小球，且要求a、b都能通過各自的最高點，則彈簧在釋放前至少具有多大的彈性勢能？

Answer 1

當a球恰能通過最高點時，b球一定通過最高點，此時彈簧在釋放前具有的彈性勢能最小，設a球到達圓軌道最高點的速度為v_a，對于a球有：
mag=ma

v 2a

R

…①
設a球被彈簧彈開瞬間的速度為v'_a，對于a球由機械能守恒定律可得：

1

2

mav

′

2a

=

1

2

ma

v

2a

+mag2R… ②
設b球被彈簧彈開瞬間的速度為v'_b，由于a、b兩球被彈開時系統動量守恒：mav'_a=m_bv'_b …③
①②③可得：v′a=v′b=

5gR

… ④
以a、b兩小球以及彈簧組成的系統為研究對象，整個過程中由系統機械能守恒可得：Eq=

1

2

mav

′

2a

+

1

2

mbv

′

2b

… ⑤
由④⑤得彈性勢能最小值為：Ep=5mgR
答：彈簧在釋放前至少具有5mgR的彈性勢能．