Question

如圖所示，質量為M、傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為μ，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為。

（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；
（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；
（3）求彈簧的最大伸長量；
（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數μ應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

（1） （2）見解析（3） （4）

（1）設物塊處于平衡位置時彈簧的伸長量為Δl，則
，解得
所以此時彈簧的長度為。
（2）當物塊相對平衡位置的位移為x時，彈簧的伸長量為x+Δl，物塊所受合力（即回復力）
F_合=，聯立以上各式，F_合=-kx，由此可知該物塊做簡諧運動。
（3）該物塊做簡諧運動的振幅為，由簡諧運動的對稱性可知，彈簧的最大伸長量
為
（4）設物塊位移x為正，對斜面受力分析如圖所示。

由于斜面受力平衡，則有
在水平方向上有：f+F_N1sinα-Fcosα=0；在豎直方向上有：F_N2－Mg-Fsinα-F_N1cosα=0
又F=，F_N1=mgcosα
聯立可得f=kxcosα，F_N2=Mg+mg+kxsinα
為使斜面始終處于靜止狀態，結合牛頓第二定律，應滿足，所以
當x=-A時，上式右端達到最大值，于是有
μ≥。
【另解】對由斜面、物塊、彈簧組成的系統受力分析，受重力（M＋m）g、地面的支持力N和水平方向的靜摩擦力f作用，如圖所示。

建立圖示直角坐標系，根據牛頓第二定律可知：
在水平方向上有：f=M×0＋macosα；在豎直方向上有：N－（M＋m）g=M×0＋masinα
其中，靜摩擦力f≤f_m＝μN，a==-(-A≤x≤A)，
聯立以上各式，解得：μ≥。