Question

用電阻率為ρ、橫截面積為S的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb′a′．金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行，如圖1、2所示．設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計．可認為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應強度大小為B．當t=0時，方框從靜止開始釋放，與底面碰撞后彈起（碰撞時間極短，可忽略不計），其速度隨時間變化的關系圖線如圖3所示，在下落過程中方框平面保持水平，不計空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求在0～15t₀時間內，方框中的最大電流I_m；
（2）若要提高方框的最大速度，可采取什么措施，寫出必要的文字說明和證明過程（設磁場區(qū)域足夠長，寫出一種措施即可）；
（3）估算在0～15t₀時間內，安培力做的功．

Answer 1

分析：（1）從圖象可以看出，最大速度為8v₀，框的aa′邊和bb′邊邊做切割磁感線運動，根據(jù)切割公式和歐姆定律列式求解；
（2）根據(jù)安培力公式，牛頓第二定律列式求解出最大速度的表達式后進行討論；
（3）在0～15t₀時間內，物體減小的機械能一部分通過克服安培力做功轉化為電能，一部分在碰撞過程中轉化為內能，根據(jù)能量守恒定律列式求解．

解答：解：（1）線框的aa′邊和bb′邊邊做切割磁感線運動，根據(jù)切割公式，有
E=2BLv?I=

E

R

=

2BLv

ρ 4L S

=

BvS

2ρ

當v=v_m=8v₀時，I有最大值，Im=

B?8v0?S

2ρ

=

4BSv0

ρ

（2）設金屬線框的密度為d．當方框速度v=v_m時，根據(jù)牛頓第二定律有mg-2BI_mL=0
因為Im=

Em

R

=

2BLvm

ρ 4L S

=

BSvm

2ρ

m=dV=d?4L?S=4dLS
所以vm=

4dρg

B2

可采取的措施有
a．減小磁場的磁感應強度B；
b．更換材料，使d和ρ的乘積變大；
（3）設方框開始下落時距底面的高度為h₁，第一次彈起后達到的最大高度為h₂．
在下落過程中，根據(jù)動能定理有：mgh1+W安1=

1

2

m?(8v0)2
在上升過程中，根據(jù)動能定理有：-mgh2+W安2=0-

1

2

m?(7v0)2
又因為mg=2BImL?m=

8B2SLv0

ρg

由圖3可知：h₁=87v₀t₀（86v₀t₀～88v₀t₀均可）h₂=6v₀t₀（5v₀t₀～6v₀t₀均可）
且W_安=W_安1+W_安2
所以W安=-

8B2SLv0

ρg

(81gv0t0-

15

2

v

2 0

)（應與h₁、h₂的值對應）
答：（1）求在0～15t₀時間內，方框中的最大電流為

4BSv0

ρ

；
（2）若要提高方框的最大速度，可采取的措施有：
a．減小磁場的磁感應強度B；
b．更換材料，使d和ρ的乘積變大；
（3）在0～15t₀時間內，安培力做的功約為-

8B2SLv0

ρg

(81gv0t0-

15

2

v

2 0

)．

點評：解答這類問題的關鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運動特征；同時要能結合功能關系列式求解．