Question

如圖所示，一內壁光滑的細管彎成半徑為R=0.4m的半圓形軌道CD，豎直放置，其內徑略大于小球的直徑，水平軌道與豎直半圓軌道在C點連接完好．置于水平軌道上的彈簧左端與豎直墻壁相連，B處為彈簧的自然狀態．將一個質量為m=0.8kg的小球放在彈簧的右側后，用力向左側推小球而壓縮彈簧至A處，然后將小球由靜止釋放，小球運動到C處后對軌道的壓力為F₁=58N．水平軌道以B處為界，左側AB段長為x=0.3m，與小球的動摩擦因數為μ=0.5，右側BC段光滑．g=10m/s²，求：
（1）彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能．
（2）小球運動到軌道最高處D點時對軌道的壓力．

Answer 1

分析：（1）由題，小球運動到C處后對軌道有壓力，根據牛頓第二定律求出小球到達C點時的速度，根據動能定理求出彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能．
（2）根據機械能守恒定律求出小球到達D處的速度，根據牛頓運動定律求出小球運動到軌道最高處D點時對軌道的壓力．

解答：解：（1）球運動到C處時，由牛頓第二定律得：F₁-mg=m

v 2 1

R

得，v1=

(F1-mg)R m

代入解得，v₁=5m/s
根據動能定理得，Ep-μmgx=

1

2

m

v

2 1

得，EP=

1

2

m

v

2 1

+μmgx
代入解得，E_P=11.2J
（2）小球從C到D過程，由機械能守恒定律得，

1

2

m

v

2 1

=2mgR+

1

2

m

v

2 2

代入解得，v₂=3m/s
由于v2＞

gR

=2m/s，所以小球在D處對軌道外壁有壓力，由牛頓第二定律得
    F2+mg=m

v 2 2

R

代入解得，F₂=10N
根據牛頓第三定律得，小球對軌道的壓力為10N．
答：（1）彈簧在壓縮時所儲存的彈性勢能為11.2J．
（2）小球運動到軌道最高處D點時對軌道的壓力為10N．

點評：本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，來處理圓周運動問題．基礎題．