Question

（2010?重慶模擬）如圖所示，一內壁光滑的圓環形窄槽固定在水平桌面上，槽內彼此間距相等的 A、B、C三位置處，分別有靜止的大小相同的彈性小球m₁、m₂、m₃，小球與槽壁剛好接觸．現讓m₁以初速度v₀沿槽順時針運動．已知三球的質量分別為m₁=m、m₂=m₃=2m，小球球心到圓環中心的距離為R．設各球之間的碰撞時間極短，碰撞中沒有能量損失．求：
（1）m₁和m₂相碰后各自的速度大小；
（2）m_3和m₁第一次碰撞的位置；
（3）m₁和m₂第一次相碰后；再經過多長時間，m₁和 m₂第二次相碰？

Answer 1

分析：（1）A和B相碰時沒有機械能損失，遵守動量守恒和機械能兩大守恒，分別列出兩大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）因為m₂=m₃=2m，與第（1）問同理可得，m₂運動到C處與m₃碰后，兩者交換速度，再根據位移關系求解相碰的位置；
（3）m₃與m₁碰撞過程滿足動量守恒和機械能兩大守恒，分別列出兩大守恒定律的方程，求出m₃與m₁相碰后各自的速度大小，再根據時間等于弧長除以速度求解．

解答：解：（1）由題知碰撞過程動量守恒，動能守恒m₁與m₂碰撞過程滿足
mv₀=mv₁+2mv₂

1

2

mv₀²=

1

2

mv₁²+

1

2

×2mv₂²
得v₁=-

v0

3

（負號表示逆時針返回），v₂=

2v0

3

（2）因為m₂=m₃=2m，與第（1）問同理可得，m₂運動到C處與m₃碰后，兩者交換速度，
即v₂′=0，v₃=

2v0

3

=v₂
所以m₃以

2v0

3

的速度順時針由C向A運動，與m₁逆時針返回．
因為v₂=v₃=2v₁，l_BC+l_CA=2l_AB
所以m₃和m₁同時到達A點并進行碰撞．
（3）m₃與m₁碰撞過程滿足
2m

2v0

3

-m

v0

3

=mv₁′+2mv₃′

1

2

×2m（

2v0

3

）²+

1

2

m（

v0

3

）²=

1

2

mv₁′²+

1

2

×2mv₃′，
解之得v₁′=v₀
v₃′=0
（另一組解v₁′=-

1

3

v₀，v₃′=

2v0

3

，這表示互相穿過去，不可能，所以舍去）即碰后m₃停止，m₁以v₀再次順時針運動．
m₁和m₂第一次相碰后，返回A點的時間
t1=

2πR 3

v0 3

=

2πR

v0

m₁與m₃在A處碰后，m₁以v₀返回到C的時間t₂=2×

2× 2πR 3

v0

=

4πR

3v0

從m₁和m₂第一次相碰，到m₁和m₂第二次相碰經歷的總時間t=t₁+t₂=

10πR

3v0

答：（1）碰后m₁的速度為反向的

1

3

v₀，m₂的速度為

2

3

v₀；
（2）m₁和m₃第一次相碰點在A點；
（3）m₁和m₂第一次相碰后再經過

10πR

3v0

時間，m₁和 m₂第二次相碰．

點評：本題中AB發生的是彈性碰撞，沒有機械能損失，遵守運量守恒和動能守恒．此題中還涉及相遇問題，根據位移關系研究時間，是常用的方法．