Question

如圖所示，橫截面是邊長為a的等邊三角形的管道內有垂直于紙面向里的勻強磁場，N為處于三角形一邊中點的小孔．管道外有方向豎直向下，電場強度為E的勻強電場．質量為m、電荷世為q的帶止電粒子自M點以水平初速度v₀進入電場區域，已知粒子恰好從N孔垂直該邊進入磁場區域，粒子與管道發生兩次碰撞后仍從N孔射出，設粒子與管道碰撞過程中沒有能量損失，且電荷量保持不變，不計粒子重力，求：
（1）粒子由M到N的水平距離；
（2）磁場的磁感應強度B；
（3）粒子由M點出發到第二次到達N孔所用的時間．

Answer 1

（1）粒子由M到N做類平拋運動，
加速度：a=

qE

m

，
豎直分速度v_y=at₁=

qEt1

m

，
在N點，tan30°=

vy

v0

=

qEt1 m

v0

=

1

3

，
解得：t₁=

mv0

3 qE

，
粒子的水平位移：x=v₀t₁=

m v 20

3 qE

；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，
由幾何知識可知，其軌道半徑：R=

a

2

，
由牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

，
速度：v=

v0

cos30°

=

2v0

3

，
解得：B=

4mv0

3 qa

；
（3）在勻強磁場中，粒子做勻速圓周運動，
由牛頓第二定律得：qvB=m（

2π

T

）²R，
粒子做圓周運動的周期：T=

2πm

qB

，
在磁場中運動的時間為半周期，
粒子運動時間：t₂=

T

2

=

πm

qB

=

3 πa

4v0

，
粒子總的運動時間：t=t₁+t₂，
t=

mv0

3 qE

+

3 πa

4v0

；
答：（1）粒子由M到N的水平距離為

m v 20

3 qE

；
（2）磁場的磁感應強度B=

4mv0

3 qa

；
（3）粒子由M點出發到第二次到達N孔所用的時間t=

mv0

3 qE

+

3 πa

4v0

．