Question

（2008?荊州一模）已知月球的質量約為地球質量的

1

81

，半徑約為地球半徑的

1

3.6

．一宇航員在月球上用一根長為l的輕質細繩一端掛住一個質量為m的小球，另一端固定于空間一點，細繩自由下垂后，他給小球-個水平方向的沖量I₀．使小球獲得一水平初速度后，在豎直平面內運動，要使小球在向上擺動的過程中，細繩松弛，則宇航員所給小球的水平沖量I₀的范圍為多大（設地球表面的重力加速度為g）？

Answer 1

分析：要使小球在向上擺動的過程中細繩能夠松弛，首先要保證小球能夠過與懸掛點等高處，其次要保證小球最多恰能經過最高點；然后根據機械能守恒定律和向心力公式列式求解．

解答：解：設月球表面的重力加速度為g′，地球表面重力加速度為g，則
G

mM地

R 2 地

=mg
G

mM月

R 2 月

=mg′
∴g′=

4

25

g；                                                    
要使小球在向上擺動的過程中，細繩會松馳，必有小球作圓弧運動到與固定等高處時速度v₁≥0，且在小球在固定點上方l處的速度滿足mg≥m

v 2 2

l

；
而I₀=mv₀，E_K0=

1

2

m

v

2 0

=

I 2 0

2m

∴

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+mgl

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 2

+2mgl            
聯立解得：

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．
答：宇航員所給小球的水平沖量I₀的范圍為

2m 2gl

5

≤I0≤

2m 5gl

5

．

點評：本題關鍵抓住兩個臨界狀態：恰好過與懸點等高位置以及恰好經過最高點．然后根據機械能守恒定律、向心力公式和牛頓第二定律列式求解．