Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負電的質點P．已知A、B間所加電壓為U₀時，質點P所受的電場力恰好與重力平衡．現在A、B間加上如圖2所示隨時間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個周期內的某一時刻t₀，在A、B 間的中點處由靜止釋放質點P，一段時間后質點P從金屬板的小孔飛出．

（1）t₀在什么范圍內，可使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短？

（2）t₀在哪一時刻，可使質點P從小孔飛出時的速度達到最大？

 

Answer 1

設質點P的質量為m，電量大小為q，根據題意，當A、B間的電壓為U0時，有

         q =mg                                ①（1分）

當兩板間的電壓為2U0時，P的加速度向上，其大小為a1，則

         q - mg =ma1                          ②（1分）

解得 a1 =g                                    ③（1分）

當兩板間的電壓為-2U0時，P的加速度向下，其大小為a2，則

q + mg =ma2                                       ④（1分）

解得 a2=3g                                    ⑤（1分）

（1）要使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短，須使質點釋放后一直向下加速運動．設質點釋放后經過時間t到達小孔O’，則

                                    ⑥（1分）

     解得                               ⑦（1分）

    因為，所以 ，質點到達小孔之前能一直加速．（1分）

因此要使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短，質點釋放的時刻t0應滿足

    即                         ⑧（1分）

（2）要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，須使質點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’．

設質點釋放后向上加速時間為t1、向上減速時間為t2，則

                           ⑨（3分）

由以上各式解得 _,        ⑩（1分）

因為，，因此質點P能向上先加速后減速恰好到達小孔O．（1分）

設質點從小孔O向下加速運動到小孔O’經過的時 間為t3，則

                              ⑾（1分）

       解得                         ⑿（1分）

因為 ，因此質點P能從小孔O向下一直加速運動到小孔O’，此時質點P從小孔O’飛出時的速度達到最大．（1分）

因此，要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，質點P釋放的時刻應為          ⒀（1分）

解析:略