Question

（2009?汕頭二模）如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負電的質點P．已知A、B間所加電壓為U₀時，質點P所受的電場力恰好與重力平衡．現在A、B 間加上如圖2所示隨時間t作周期性變化的電壓U，已知周期T=

12d g

（g為重力加速度）．在第一個周期內的某一時刻t₀，在A、B 間的中點處由靜止釋放質點P，一段時間后質點P從金屬板的小孔飛出．
（1）t₀在什么范圍內，可使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短？
（2）t₀在哪一時刻，可使質點P從小孔飛出時的速度達到最大？

Answer 1

分析：分析質點的運動情況：在第一個周期內，若質點在前半周內釋放，可能先向上做勻加速直線運動，后向上做勻減速直線運動；后半周內釋放，可能先向下做勻加速直線運動，后向下做勻減速直線運動．要使質點飛出小孔之前時間最短，必須一直加速，而且加速度較大．向上或向下的加速度大小由牛頓第第二定律求出，向下的加速度大，故質點須在后半周內某個時刻釋放，且運動時間小于

1

2

T，質點在飛出小孔之前運動的時間即最短；要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，須使質點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’

解答：解：設質點P的質量為m，電量大小為q，根據題意，當A、B間的電壓為U₀時，有
    q

U0

d

=mg                           
   當兩板間的電壓為2U₀時，P的加速度向上，其大小為a₁，則
    q 

U0

d

-mg=ma₁         解得 a₁=g                           
   當兩板間的電壓為-2U₀時，P的加速度向下，其大小為a₂，則
    q

U0

d

+mg=ma₂         解得 a₂=3g            
（1）要使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短，須使質點釋放后一直向下加速運動．設質點釋放后經過時間t到達小孔O′，則 
        

1

2

d=

1

2

a2t2     解得 t=

d 3g

                       
    因為周期T=

12d g

，所以t＜

T

2

    質點到達小孔之前能一直加速．因此要使質點在飛出小孔之前運動的時間達到最短，質點釋放的時刻t₀應
    滿足

T

2

≤t0≤T-t，即

3d g

≤t₀≤5

d 3g

                   
（2）要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，須使質點釋放后先向上加速、再向上減速運動，在到達小孔O時速度減為0，然后向下加速運動直到小孔O’．
設質點釋放后向上加速時間為t₁、向上減速時間為t₂，則
                         v₁=gt₁  0=v₁-3gt₂  
                         

1

2

d=

1

2

g

t

2 1

+(v1t2-

1

2

3g

t

2 2

)       
     由以上各式解得
  t₁=

3d 4g

                   t₂=

d 12g

                  
因為t₁＜

T

2

，t₂＜

T

2

因此質點P能向上先加速后減速恰好到達小孔O．設質點從小孔O向下加速運動到小孔O’經過的時間為t₃，則
       d=

1

2

3g

t

2 3

              
 解得t₃=

2d 3g

 
    因為t₂+t₃=

(1+2 2 )

2 3

d g

＜

T

2

，因此質點P能從小孔O向下一直加速運動到小孔O’，
此時質點P從小孔O’飛出時的速度達到最大．因此，要使質點P從小孔飛出時的速度達到最大，質點P釋放的時刻應為
  t₀=

T

2

-t1=

3d 4g

故答案為：（1）

3d g

≤t₀≤5

d 3g

   （2）

3d 4g

點評：帶電粒子在電場中運動的問題，是電場知識和力學知識的綜合應用，分析方法與力學分析方法基本相同，關鍵在于分析粒子的受力情況和運動情況．