Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長(zhǎng)和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 處在同一豎直線(xiàn)上．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)P．已知A、B間所加電壓為U₀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P所受的電場(chǎng)力恰好與重力平衡．現(xiàn)在A(yíng)、B 間加上如圖2所示隨時(shí)間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個(gè)周期內(nèi)的某一時(shí)刻t₀，在A(yíng)、B 間的中點(diǎn)處由靜止釋放質(zhì)點(diǎn)P，一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)P從金屬板的小孔飛出．

（1）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短？

（2）t₀在哪一時(shí)刻，可使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大？

Answer 1

設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量大小為q，根據(jù)題意，當(dāng)A、B間的電壓為U0時(shí)，有

         q = mg                                 ①（1分）

當(dāng)兩板間的電壓為2U0時(shí)，P的加速度向上，其大小為a1，則

         q - mg = ma1                           ②（1分）

解得 a1 = g                                     ③（1分）

當(dāng)兩板間的電壓為-2U0時(shí)，P的加速度向下，其大小為a2，則

q + mg = ma2                                        ④（1分）

解得 a2 =3g                                     ⑤（1分）

（1）要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后一直向下加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)小孔O’，則

                                     ⑥（1分）

     解得                               ⑦（1分）

    因?yàn)?，所以 ，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)小孔之前能一直加速．（1分）

因此要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，質(zhì)點(diǎn)釋放的時(shí)刻t0應(yīng)滿(mǎn)足

    即                          ⑧（1分）

（2）要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’．

設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后向上加速時(shí)間為t1、向上減速時(shí)間為t2，則

                            ⑨（3分）

由以上各式解得 _,        ⑩（1分）

因?yàn)?sub>，，因此質(zhì)點(diǎn)P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．（1分）

設(shè)質(zhì)點(diǎn)從小孔O向下加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’經(jīng)過(guò)的時(shí) 間為t3，則

                               ⑾（1分）

       解得                         ⑿（1分）

因?yàn)?sub> ，因此質(zhì)點(diǎn)P能從小孔O向下一直加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P從小孔O’飛出時(shí)的速度達(dá)到最大．（1分）

因此，要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，質(zhì)點(diǎn)P釋放的時(shí)刻應(yīng)為          ⒀（1分）

解析:

略