Question

如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條光滑的平行金屬導軌，其電阻不計，間距為L，導軌平面與磁場方向垂直，ab、cd為兩根垂直導軌放置的、電阻都為R、質量都為m的金屬棒．棒cd用水平細線拉住，棒ab在水平拉力F的作用下以加速度a靜止開始向右做勻加速運動，求：
（1）F隨時間t的變化規律；
（2）經t₀時間，拉棒cd細線將被拉斷，則此細線所能承受的最大拉力T為多大；
（3）當拉棒cd的細線剛被拉斷時，將拉力F撤去，則cd棒所能達到的最大速度是多少？

Answer 1

分析：（1）對ab棒，由E=BLv，v=at、I=

E

2R

和安培力公式F=BIL推導出安培力的表達式，根據牛頓第二定律列式，得到F與t的變化規律；
（2）當細線所受的拉力達到最大值T時將被拉斷，此時拉力恰好與所受的安培力大小相等．即可求出此細線所能承受的最大拉力T；
（3）拉力F撤去，兩棒組成的系統合外力為零，遵守動量守恒．當兩棒的速度相同時，此共同速度就是cd棒的最大速度．根據動量守恒定律求解．

解答：解：（1）時刻t，棒ab的速度為：v=at
此時棒ab中感應電動勢為：E=BLv=BLat
此時棒中的感應電流為：I=

E

2R

棒所受的安培力為：F_A=BIL=

B2L2at

2R

由牛頓第二定律得：F-F_A=ma
聯立得：F=

B2L2a

2R

t+ma
（2）當細線所受的拉力達到最大值T時將被拉斷，滿足：BIL=T
即得最大拉力為：T=

B2L2a

2R

t0           
（3）拉力F撤去后，cd向右做加速運動，當兩棒的速度相等后兩棒一起做勻速運動，此時cd棒的速度達到最大，設為v．
由于兩棒組成的系統合外力為零，遵守動量守恒，則有：mv₀=2mv
又 v₀=at₀，
解得：v=

1

2

at₀   
答：（1）F隨時間t的變化規律為F=

B2L2a

2R

t+ma；
（2）經t₀時間，拉棒cd細線將被拉斷，則此細線所能承受的最大拉力T為

B2L2a

2R

t0；
（3）當拉棒cd的細線剛被拉斷時，將拉力F撤去，則cd棒所能達到的最大速度是

1

2

at₀．

點評：本題是雙桿模型，當cd棒不動時，只有ab棒切割磁感線產生感應電動勢，關鍵要會推導安培力的表達式．當兩棒都運動時，要把握住基本規律是：系統的動量守恒．