Question

如圖所示，三個質量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上．現給中間的小球B一個水平初速度v₀，方向與繩垂直．小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長．求：
（1）當小球A、C第一次相碰時，小球B的速度．
（2）當三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度．
（3）運動過程中小球A的最大動能E_KA和此時兩根繩的夾角θ．
（4）當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小．

Answer 1

分析：（1）給中間的小球B一個水平初速度后，由于繩子的拉力作用，小球B減速，小球A和C向前加速，由于兩繩子不可伸長，當小球A、C第一次相碰時，角度θ為零，故三球此時在沿B球速度方向的分速度相等，根據動量守恒定律可以列式求解；
（2）根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式求解即可；
（3）當小球B速度減為零時，小球A和小球C動能最大，根據動量定律守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解；
（4）當三個小球處在同一直線上時，小球B受力平衡，加速度為零，先根據動量定律守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解出各個球的速度，再以B球為參考系，根據向心力公式列式求解．

解答：解：（1）設小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為v_B，考慮到對稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為v_B，由動量守恒定律，得
mv₀=3mv_B
由此解得
vB=

1

3

v0
即當小球A、C第一次相碰時，小球B的速度為

1

3

v0．
（2）當三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得
mv₀=mv_B+2mv_A

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 B

+2×

1

2

m

v

2 A

解得
vB=-

1

3

v0
vA=

2

3

v0（三球再次處于同一直線）
另一組解為
v_B=v₀
v_A=0（為初始狀態，舍去）
所以，三個小球再次處在同一直線上時，小球B的速度為vB=-

1

3

v0（負號表明與初速度反向）
（3）當小球A的動能最大時，小球B的速度為零．設此時小球A、C的速度大小為u，兩根繩間的夾角為θ（如圖），則仍由動量守恒定律和機械能守恒定律，得
mv0=2musin

θ

2

1

2

m

v

2 0

=2×

1

2

m

u

2

另外，EKA=

1

2

mu2
由此可解得，小球A的最大動能為EKA=

1

4

mv02，此時兩根繩間夾角為θ=90°
即運動過程中小球A的最大動能E_KA為

1

4

mv02、此時兩根繩的夾角θ為90°．
（4）小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運動，當三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系（小球B的加速度為0，為慣性參考系），小球A（C）相對于小球B的速度均為
v=|v_A-v_B|
所以，此時繩中拉力大小為：
F=m

v2

L

=m

v 2 0

L

即當三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小為m

v 2 0

L

．

點評：本題關鍵要多次結合動量守恒定律和機械能守恒定律列式求解出各個球的速度，計算較為復雜，同時要結合已知的一些臨界條件分析．