Question

據有關資料介紹，受控核聚變裝置中有極高的溫度，因而帶電粒子將沒有通常意義上的“容器”可裝，而是由磁場約束帶電粒子運動使之束縛在某個區域內（托卡馬克裝置）．如圖所示，環狀勻強磁場圍成中空區域，中空區域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會穿出磁場的外邊緣而被約束在該區域內，設環狀磁場的內半徑為R₁=0.5m，外半徑R₂=1.0m，磁場的磁感應強度B=1.0T，若被束縛帶電粒子的比荷為

q

m

=4×107C/kg，中空區域內帶電粒子具有各個方向的速度，試計算
（1）實踐證明，粒子在磁場區域內沿垂直于磁場方向運動的速度v與它在磁場中運動的軌道半徑r有關．試導出v與r的關系式．
（2）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度．
（3）所有粒子不能穿越磁場的最大速度．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做圓周運動時，由洛倫茲力提供向心力，根據牛頓第二定律推導v與r的關系．
（2）粒子若沿徑向飛出，臨界情況為粒子恰好與外環相切，根據幾何關系求出運動的軌道半徑，再根據帶電粒子在磁場中軌道半徑公式求出最大的速度．
（3）粒子沿環狀域的內邊界圓的切線方向射入磁場時，此時的軌道半徑為最小的軌道半徑，此時粒子若不能出磁場，則所以粒子都不會出磁場，根據幾何關系求出軌道半徑，再通過軌道半徑公式求出最大的速度．

解答：解：（1）設粒子的質量為m，電量為q，以速度v在磁感應強度為B的勻強磁場中做半徑為r的勻速圓周運動；
由牛頓第二定律可知，Bqv=m

v2

r

所以有：v=

Bqr

m

；
故粒子在磁場區域內沿垂直于磁場方向運動的速度v與它在磁場中運動的軌道半徑r有關．
（2）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場區域的最大速度粒子沿圓弧從B到A，恰與環狀域外圓相切，0′為軌道圓心．設AO′=BO′=r，
由幾何關系得（R₂-r）²=r²+R₁²，
又r=

mv

qB

，
可得v=

q

m

?

B( R 2 2 - R 2 1 )

2R2

代入解得v=1.5×10⁷m/s
（3）粒子沿環狀域的內邊界圓的切線方向射入磁場時，軌道半徑最大為r_m=

R2-R1

2

，由r_m=

mv

qB

，得
v_m=

qB(R2-R1)

2m

．
代入數據得v_m=1.0×10⁷m/s
答：（1）
（2）粒子沿環狀的半徑方向射入磁場，不能穿越磁場的最大速度為1.5×10⁷m/s．
（3）所有粒子不能穿越磁場的最大速度為1.0×10⁷m/s．

點評：本題對數學幾何的能力要求較高，關鍵找出臨界的半徑，再通過帶電粒子在磁場中的半徑公式求出臨界的速度．