Question

如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，長為L的水平軌道AB光滑且絕緣，B點坐標為(0，

3

2

L)．有一質量為m、電荷量為+q的帶電小球（可看成質點）被固定在A點．已知在第一象限內分布著互相垂直的勻強電場和勻強磁場，電場方向豎直向上，場強大小E2=

mg

q

，磁場為水平方向（在圖中垂直紙面向外），磁感應強度大小為B；在第二象限內分布著沿x軸正向的水平勻強電場，場強大小E1=

B2qL

6m

．現將帶電小球由A點從靜止釋放，設小球所帶的電量不變．試求：
（1）小球運動到B點的速度大小；
（2）小球第一次落地點與O點之間的距離；
（3）小球從開始運動到第一次落地所經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）A到B的過程中電場力做功，小球的動能增大，根據動能定理可以求出小球的速度；
（2）小球在第一象限受到的電場力：qE₂=mg，所以小球做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律求出小球運動的半徑，再根據幾何關系求出小球第一次落地點與O點之間的距離；
（3）小球從開始運動到第一次落地所經歷的時間是勻加速運動的時間與圓周運動的時間的和．

解答：解：（1）小球從A到B的過程中，由動能定理得

1

2

m

v

2 B

=qE1L
所以小球運動到B的速度vB=

2qE1L m

=

2qL m ? B2qL 6m

=

3 qBL

3m

（2）小球在第一象限受到的電場力：qE₂=mg，所以小球做勻速圓周運動，設半徑為R，
由m

vB2

R

=BqvB
得R=

mvB

qB

=

m

qB

?

3 BqL

3m

=

3

3

L
設圖中C點為小球做圓周運動的圓心，它第一次的落地點為D點，則

.

CD

=R，

.

OC

=

.

OB

-R=

3

2

L-

3

3

L=

3

6

L
所以，落地點到O點的距離為

.

OD

=

R2- . OC 2

=

( 3 3 L)2-( 3 6 L)2

=

L

2

（3）小球從A到B所需時間tAB=

vB

a

=

3 BqL 3m

q2B2L 6m

=

2 3 m

qB

小球做勻速圓周運動的周期為T=

2πm

qB

由幾何關系知∠BCD=120°，
小球從C到D所用的時間為tBD=

T

3

=

2πm

3qB

所以小球從開始運動到第一次落地所經歷的時間為tAD=tAB+tBD=

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

=(2

3

+

2π

3

)

m

qB

答：（1）小球運動到B點的速度大小vB=

3 qBL

3m

；
（2）小球第一次落地點與O點之間的距離

L

2

；
（3）小球從開始運動到第一次落地所經歷的時間tAD=(2

3

+

2π

3

)

m

qB

．

點評：該題考查帶電小球在電場與復合場中的運動，該類題目涉及的知識點較多，難度較大．在解題的過程中運動要理清小球運動的過程，及運動過程中的受力關系．