Question

如圖所示，坐標系xOy在豎直平面內，光滑且絕緣的水平軌道MN的長度為L，N點到O點的豎直距NO=

3

2

L．有一質量為m、電荷量為+q的帶電小球（可看成質點）放在M點．已知在第一象限分布著互相垂直的勻強電場和勻強磁場，電場方向豎直向上，場強E2=

mg

q

；磁場方向水平（圖中垂直紙面向外），磁感應強度大小為B；在第二象限分布著沿x軸正向的水平勻強電場，場強E1=

B2qL

6m

．求
（1）小球到達N點的速度大小
（2）小球到達x軸上的坐標
（3）小球從M點由靜止釋放至落到x軸上所需的時間（設運動過程中小球所帶的電荷量不變）．

Answer 1

分析：根據動能定理列方程求小球到到N點的速度；
根據位移公式和牛頓第二定律求出小球從M到N點的時間，小球進入第一象限后電場力與重力平衡，根據洛倫茲力提供向心力求出做圓周運動半徑，畫出軌跡，由幾何知識求得到達x軸的坐標；
由圓周運動周期公式T=

2πm

qB

結合圓心角求出磁場中運動的時間，總時間為電場中運動時間與磁場中運動時間之和．

解答：解：（1）設帶電小球運動到N點時速度為v_N，由動能定理：
E₁qL=

1

2

mv_N²
解得：v_N=

3

3

BLq

m

（2）當小球進入第一象限后，qE₂=mg
所受電場力與重力平衡，所以帶電小球將做勻速圓周運動：Bqv_N=m

vN2

R

則小球做勻速圓周運動的半徑R=

mvN

qB

=

3

3

L

設圓周運動的圓心在圖中的O′點，小球落點為P，O′O=NO-R=

3

6

L
∠OO′P=arccos

OO′

R

=arccos

1

2

=60°
則帶電粒子轉過的圓心角為120°
到達x軸的位置到O點的距離為

3

2

R=

1

2

L
（3）設小球從M點運動到N點設用時為t₁，則L=

1

2

a₁t₁²
qE₁=ma₁
聯立解得：t₁=

2 3 m

qB

，
帶電小球從N點運動到P點所用時間t₂=

1

3

T=

2πm

qB

×

1

3

=

2πm

3qB

小球從M點出發到x軸的過程中所用時間t=t₁+t₂=

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．
答：（1）小球到達N點的速度大小

3 BLq

3m

．
（2）小球到達x軸上的坐標（

1

2

L，0）．
（3）小球從M點由靜止釋放至落到x軸上所需的時間（設運動過程中小球所帶的電荷量不變）

2 3 m

qB

+

2πm

3qB

．

點評：本題的關鍵是找出粒子在混合場中運動的圓心畫出軌跡，這是解決多數帶電粒子在磁場中運動的突破口．