Question

如圖所示，豎直平面內有一光滑圓弧軌道，其半徑R=0.5m．一質量m=1.0kg的小球（可以看成質點）從離地高度h=1.0m的A點水平射出，恰能沿圓弧軌道上B點的切線方向進入軌道內側，軌道半徑OB與豎直線的夾角θ=53°．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．試求：
（1）小球從A點到B點的時間t；小球從A點水平射出時的速度大小V₀；
（2）小球從射出點A到圓軌道入射點B之間的距離L；（結果可用根式表示）
（3）小球沿軌道通過圓弧的最高點D時對軌道的壓力大小和方向．

Answer 1

分析：（1）恰能沿圓弧軌道上B點的切線方向進入軌道內側，說明到到B點的速度v_B方向與水平方向的夾角為θ，這樣可以求出初速度v₀；
（2）平拋運動水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，根據平拋運動的基本規律求出B點與A點的水平距離和豎直距離，并進行合成求出位移大小；
（3）根據機械能守恒定律求得D點速度，再運用牛頓第二定律和圓周運動知識求解．

解答：解：
（1）B點的高度 h_B=R（1-cos53°）=0.2m
A到B：h-h_B=

1

2

gt2，t=0.4s 
在B點的豎直速度 Vy=gt=4 m/s                                 
水平速度  V₀=Vycot53°=3m/s                               
（2）A到B的水平距離：x=V₀t=1.2m                                  
A到B的距離：L=

x2+(h-hB)2

=

2.08

m
（3）A到D過程中，由機械能守恒定律得：
V_D=V₀=3 m/s                                                  
小球重力 mg=10 N
在D點的向心力 F_A=m

v2

R

=18N
小球受到軌道的彈力F_D=F_A-mg=8 N  豎直向下                   
由牛頓第三定律可得，小球在D點時對軌道的壓力為：
F_D′=F_D=8 N  豎直向上                                       
答：（1）小球從A點到B點的時間為0.4s；小球從A點水平射出時的速度大小為3m/s；
（2）小球從射出點A到圓軌道入射點B之間的距離L為

2.08

m；
（3）小球沿軌道通過圓弧的最高點D時對軌道的壓力大小為8N和，方向豎直向上．

點評：恰能無碰撞地沿圓弧切線從B點進入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運動和圓周運動結合在一起運用機械能守恒解決，能夠很好的考查學生的能力，是道好題．本題是平拋運動和圓周運動相結合的典型題目，除了運用平拋運動和圓周運動的基本公式外，求速度的問題，動能定理不失為一種好的方法．