Question

如圖所示，水平虛線L₁和L₂、L₃和L₄之間存在兩個(gè)磁場(chǎng)方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，磁場(chǎng)高度為h，兩磁場(chǎng)相距也為h．豎直平面內(nèi)有一電阻均勻的凸形銅線框，質(zhì)量為m，AB、EF、CD、GH邊水平，AB邊長為l，EF邊長3l，BC、AH、ED、FG邊長為h．現(xiàn)使線框AB邊在磁場(chǎng)邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落，當(dāng)AB邊剛進(jìn)入上面磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為零，當(dāng)AB邊出下面磁場(chǎng)的前一段時(shí)間內(nèi)，線框在做勻速運(yùn)動(dòng)．（重力加速度為g）求：

（1）線框的電阻；
（2）在GH、CD邊進(jìn)入上面磁場(chǎng)后某時(shí)刻金屬框上的熱功率為P，則此時(shí)框的速度；
（3）在AB邊穿越兩個(gè)磁場(chǎng)過程中金屬框損失的機(jī)械能；
（4）大致畫出金屬框中電流隨高度變化的圖象．（下落2h內(nèi)已畫出）

Answer 1

分析：（1）AB剛進(jìn)入上面磁場(chǎng)的磁場(chǎng)時(shí)，加速度為零，重力與安培力二力平衡，推導(dǎo)出安培力，由平衡條件求電阻R．
（2）當(dāng)GH、CD進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)此時(shí)框的速度為v₁，線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₁=B（2l）v₁，線框的熱功率為 P=

(E1)2

R

=

(B2lv1)2

R

，即可求出v₁．
（3）當(dāng)AB邊出下面磁場(chǎng)的前一段時(shí)間內(nèi)，線框在做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)AB和EF同時(shí)在切割，設(shè)此勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₂=B（4l）v₂，線框在做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力表達(dá)式結(jié)合求出速度v₂．在AB邊穿越兩個(gè)磁場(chǎng)過程中，其機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求損失的機(jī)械能．
（4）根據(jù)歐姆定律求各段電流，畫出圖象．

解答：解：（1）設(shè)AB邊剛進(jìn)入上面磁場(chǎng)時(shí)速度為v₀．
則根據(jù)機(jī)械能守恒得 mgh=

1

2

m

v

2 0

AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)有，所受的安培力F=BIl=Bl

Blv0

R

=

B2l2v0

R

當(dāng)AB邊剛進(jìn)入上面磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為零，則有F=mg
即

B2l2v0

R

=mg
所以R=

B2l2 2gh

mg

（2）當(dāng)GH、CD進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，當(dāng)某時(shí)刻金屬框上的熱功率為P，設(shè)此時(shí)框的速度為v₁，線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為
E₁=B（2l）v₁
線框的熱功率為  P=

(E1)2

R

=

(B2lv1)2

R

得出v₁=

P 4m 2h g

（3）當(dāng)AB邊出下面磁場(chǎng)的前一段時(shí)間內(nèi)，線框在做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)AB和EF同時(shí)在切割，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₂，
則線框產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₂=B（4l）v₂，
線框在做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得
  B（l+3l）

E2

R

=mg
即

16B2l2v2

R

=mg     
解得，v₂=

1

16

2gh

在AB邊穿越兩個(gè)磁場(chǎng)過程中，根據(jù)能量守恒定律得：
mg（4h）-Q=

1

2

m

v

2 2

金屬框損失的機(jī)械能△E=Q=

1023

256

mgh
（4）由上可知，當(dāng)AB邊出下面磁場(chǎng)的前一段時(shí)間內(nèi)，線框在做勻速運(yùn)動(dòng)，電流為

1

2

I₀；畫出致畫出金屬框中電流隨高度變化的圖象如圖．
答：
（1）線框的電阻是

B2l2 2gh

mg

；
（2）在GH、CD邊進(jìn)入上面磁場(chǎng)后某時(shí)刻金屬框上的熱功率為P，則此時(shí)框的速度是

P 4m 2h g

；
（3）在AB邊穿越兩個(gè)磁場(chǎng)過程中金屬框損失的機(jī)械能是

1023

256

mgh；
（4）大致畫出金屬框中電流隨高度變化的圖象如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，考查電磁感應(yīng)、機(jī)械能守恒定律、平衡條件等知識(shí)綜合應(yīng)用和分析能力．