Question

如圖所示，水平虛線X下方區(qū)域分布著方向水平、垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫(huà)出）．質(zhì)量為m，電荷量為+q的小球P靜止于虛線X上方A點(diǎn)，在某一瞬間受到方向豎直向下、大小為I的沖量作用而做勻速直線運(yùn)動(dòng)．在A點(diǎn)右下方的磁場(chǎng)中有定點(diǎn)O，長(zhǎng)為l的絕緣輕繩一端固定于O點(diǎn)，另一端連接不帶電的質(zhì)量同為m的小球Q，自然下垂．保持輕繩伸直，向右拉起Q，直到繩與豎直方向有一小于5⁰的夾角，在P開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)自由釋放Q，Q到達(dá)O點(diǎn)正下方W點(diǎn)時(shí)速率為v₀．P、Q兩小球在W點(diǎn)發(fā)生正碰，碰后電場(chǎng)、磁場(chǎng)消失，兩小球粘在一起運(yùn)動(dòng)．P、Q兩小球均視為質(zhì)點(diǎn)，P小球的電荷量保持不變，繩不可伸長(zhǎng)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小和P進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率v；
（2）若繩能承受的最大拉力為F，要使繩不斷，F(xiàn)至少為多大？
（3）求A點(diǎn)距虛線X的距離s．

Answer 1

分析：（1）勻速運(yùn)動(dòng)電場(chǎng)力等于重力，有沖量利用動(dòng)量定理列方程求解即可．
（2）碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)合力提供向心力
（3）相對(duì)碰撞時(shí)，單擺到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)可能經(jīng)過(guò)的時(shí)間為tQ=(n+

1

4

)2π

l g

，同向相碰時(shí)，單擺到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)可能經(jīng)過(guò)的時(shí)間為tQ′=(n+

3

4

)2π

l g

，本題要分情況討論．

解答：解：
（1）設(shè)小球P所受電場(chǎng)力為F₁，則F₁=qE
在整個(gè)空間重力和電場(chǎng)力平衡，有F_l=mg
聯(lián)立相關(guān)方程得E=

mg

q

設(shè)小球P受到?jīng)_量后獲得速度為v，由動(dòng)量定理得I=mv
得v=

I

m

（2）設(shè)P、Q同向相碰后在W點(diǎn)的最大速度為v_m，由動(dòng)量守恒定律得
mv+mv₀=（m+m）v_m
此刻輕繩的張力也為最大，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得F-（m+m）g=

(m+m)

l

v_m²
聯(lián)立相關(guān)方程，得F=( 

I+mv0

2ml

)2+2mg
（3）設(shè)P在肖上方做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為h，則t_P1=

s

v

設(shè)P在X下方做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t_P2，則
t_P2=

πm

2Bq

設(shè)小球Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與P球反向相碰的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t_Q，由單擺周期性，有tQ=(n+

1

4

)2π

l g

由題意，有    t_Q=t_P1+t_P2   
聯(lián)立相關(guān)方程，得s=(n+

1

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

n為大于(

m

4Bq

g l

-

1

4

)的整數(shù)
設(shè)小球Q從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到與P球同向相碰的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t_Q^?，由單擺周期性，有tQ′=(n+

3

4

)2π

l g

同理可得s=(n+

3

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

    其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

3

4

)的整數(shù)
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小E=

mg

q

，P進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速率v=

I

m

；
    （2）要使繩不斷，F(xiàn)至少為F=( 

I+mv0

2ml

)2+2mg
    （3）若兩球反向相碰，A點(diǎn)距虛線X的距離s=(n+

1

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

 其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

1

4

)的整數(shù)
         若兩球同向相碰，A點(diǎn)距虛線X的距離s=(n+

3

4

)

2πI

m

l g

-

πI

2Bq

 其中n為大于(

m

4Bq

g l

-

3

4

)的整數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能通過(guò)粒子的運(yùn)動(dòng)情況，正確分析受力情況，熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式，本題還考查了動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、單擺周期公式，綜合性強(qiáng)，難度較大．